不确定性与预期收益

本章主题：当结果还不知道时，怎样比较行动的价值，理解平均收益、失败代价与承受能力之间的关系。

本章所有人物、业务、金额、时间和概率均为教学设定。它们用于演示推理，不是某种 AI 产品的成功率，也不是实际项目的收入承诺。文中的“净收益”若无特别说明，指从现在开始的收入减去现金支出；时间、学习和其他影响会另行说明。

一、做之前不知道结果，仍然需要作出选择

小叶准备为校园文化节制作一份活动导览。主办方允许他在两个已经约定范围的方案中选一个，最终只交付其中一个。

方案 A 是他熟悉的模板展示页：验收收入为 1,600 元，未来支出为 400 元，净收益为 1,200 元。为了突出本章的问题，先把这个方案的交付和费用看成确定的。

方案 B 是借助 AI 制作互动导览页：增加路线筛选和活动查询，验收收入提高到 3,200 元。但是，他对新的实现方式还没有充分把握。有时可以顺利完成，有时需要付费修复，有时最终达不到约定的交付条件。

如果只比较“1,600 元和 3,200 元”，B 很吸引人；如果只想象一次彻底失败，A 又显得无可争议。这两种看法都抓住了一个可能的画面，却没有把选择面对的各种结果放在一起。

我们给 B 设定三种结果：

这里没有此前已经花掉的钱。最后一行的 600 元，是选择 B 以后才会发生的投入，即使没有收到验收费，也已经付出。第二行的 2,000 元包括修复支出，不需要再加一次。先假定他有 2,500 元可用现金，而且这三种路径都有足够的执行时间，避免在模型开始时就把一个做不到的方案放进来。

学生可能马上问：所以到底选哪一个？

这时先保留一点耐心。选择取决于至少两件事：各个结果怎样发生，以及这些结果对小叶意味着什么。第一件事涉及概率和收益，第二件事涉及他的资源、目标与风险承受能力。把两件事分开看，再放回同一次选择，判断才会清楚。

AI 可以扩大我们尝试的任务范围。能尝试的范围扩大以后，“这件事做得出来”常常变成“有一部分条件下可以做出来”。经济学在这里提供的帮助，是让我们在行动之前比较这些条件和后果，而不必等到结果出现以后才解释自己的选择。

二、先把可能结果写完整，概率才有地方可放

1. 一个结果，需要包括收入和为它付出的代价

假设小叶只写了“成功赚 3,200 元，失败赚零元”。这张表漏掉了制作费用，也把“收入”叫成了“赚到的钱”。如果后面再认真地乘上概率，他会得到一个计算正确、对象错误的数字。

因此，在结果表中，先问一条路径走到结束时会发生什么：收到了多少，付出了多少，是否还有必须继续履行的工作。沿着同一条路径把账算完，才得到可比较的结果。

失败路径尤其值得看清。一个项目可能在早期发现不可行，只付出少量试做成本；也可能在上线前才失败，前面的大部分工作已经做完。两种情况都叫失败，经济后果可以相差很大。反过来，成功也不意味着同一种收益：准时完成和熬夜返工完成，虽然都通过验收，消耗的资源并不相同。

在 AI 任务中，这个区别很常见。一次生成没有得到可用成果，不等于这次尝试没有成本；生成顺利，也不等于核验、修订和交接的工作自动消失。写结果表的作用，是把被一句“成功率挺高”遮住的过程重新展开。

2. 结果类别要能够区分，也要覆盖所讨论的情况

小叶的三行按最终交付路径区分。一次项目在本模型中，只能落入其中一行，三行概率相加为 100%。

但如果他把三行写成“接口出错”“内容不准确”“没有通过验收”，就可能重复计算。同一次项目完全可以同时出现接口错误和内容错误，最后没有通过验收。这些是可能重叠的原因，并不是三个互相排斥的最终结果。

要修正，可以先按“验收成功或失败”划分，再按修复程度、费用区间细分；也可以画出先后经过的阶段。本章后面会用后一种方法计算。分类并没有唯一正确的外观，关键是同一笔收入和费用别在不同结果中被重复算进去。

概率加起来等于 100%，只能说明这张表在形式上闭合。它不能证明现实已经被考虑完整。假如活动可能整体取消，而所有行都默认活动必然举办，就仍然漏了情况。如果取消概率低、经济影响也小，可以暂不展开；如果取消会导致大笔无法退还的支出，就值得单独建一行或调整现有结果。

3. 不必穷尽世界，但要保留会改变选择的差异

为什么这里只列三种结果，没有列出每一种错误代码、每一轮修改？因为我们正在比较两种制作安排。只要一些细节不会改变收入、费用、时间和验收后果，就可以合并。

比如两种小问题分别要花 100 元和 120 元修复，而整体选择的差距是几千元，把它们合为一个“小修复”类别可能已经够用。如果两个方案只差几十元，这种合并就可能掩盖结论。结果表需要的精细程度，取决于它对当前决定的影响。

这也是一种实际的建模能力：保留重要区别，省去无关细节。可以先用粗表定位不确定性，再把真正影响选择的地方拆开。这样既能开始行动，也为后续改进判断留下位置。

三、预期收益：给不同结果按发生概率加权

1. “期望”是一个计算概念

日常说“我期望这个项目成功”，常常是在表达愿望。概率和经济决策中的期望值，有一个明确的计算方式：每一种结果乘以它发生的概率，再把这些乘积加起来。

把净收益记为 $X$，第 $i$ 种净收益记为 $x_i$，对应概率记为 $p_i$，就得到：

$E(X)$ 读作“X 的期望”。概率没有金额单位，所以当每个结果用元表示时，算出的期望值也用元表示。期望是概率加权的平均值，并不要求它恰好等于某一个可能结果。这个定义可参见 OpenStax《Introductory Statistics 2e》的期望值章节。

方案 A 的净收益确定为 1,200 元，因此期望值也是 1,200 元。方案 B 则是：

三项分别为 1,200 元、360 元和 −120 元。前两种结果带来正贡献，失败结果带来负贡献。B 的预期净收益比 A 高 240 元。

也可以先分别计算预期收入和预期费用。B 有 80% 的概率完成验收，预期收入为 $0.8\times 3200=2560$ 元；预期费用为 $0.5\times 800+0.3\times 2000+0.2\times 600=1120$ 元。两者相减，仍然是 1,440 元。

如果有人用“80% 的成功率乘以 3,200 元，再减掉 800 元”，算出 1,760 元，他等于让所有路径都只承担顺利完成时的费用。这与原来的结果表不同。计算预期成本时，成本本身也要随路径变化。

2. 平均高 240 元，不等于这一次能多拿 240 元

在这张简化表中，小叶这一次只可能得到 2,400 元、1,200 元或 −600 元。他不会收到一笔恰好为 1,440 元的净收益。

为了理解平均，可以设想很多条件相同的项目。假如各次的结果互不影响，并且三种结果的概率始终相同，进行大量重复时，观察到的结果比例通常会接近设定概率。按照 50 次顺利、30 次修复、20 次失败计算，100 次的净收益合计为 144,000 元，平均每次 1,440 元。这个组合用来解释权重，不是说现实做满 100 次就必定出现这种比例。

对只有一次机会的学生，期望值仍然有意义。它帮助把概率大小和后果大小放在同一个尺度上比较。但它不能把一次项目变成很多次，也不能把失败那一行的损失提前用其他项目的成功抵消。

图中 B 的期望线落在 1,440 元处，却没有一个结果柱恰好在那里。读图时既要看这条线的位置，也要看柱子落在哪些地方、各占多高。平均数保留了加权结果，分布保留了不同结果怎样分散。

3. 成功率、获利概率和胜过替代方案的概率并不相同

B 的验收成功率为 80%，现金获利概率也是 80%，这是本案例的金额安排造成的巧合。若修复费用超过收入，通过验收也可能亏钱。

B 严格胜过 A 的概率只有 50%；另有 30% 的概率与 A 持平，20% 的概率比 A 差。B 的期望值比 A 高，并不意味着 B 有 80% 的概率比 A 赚得多。

如果直接写相对于 A 的差额，三行分别是增加 1,200 元、增加 0 元、减少 1,800 元。加权后得到 $0.5\times 1200+0.3\times 0-0.2\times 1800=240$ 元，与两个期望值的差一致。失败时相对 A 少了 1,800 元，其中包括实际支出 600 元和放弃 A 的 1,200 元净收益。比较到这里，机会成本已经纳入，不能再把 A 的收益多扣一次。

四、收益值得期待，还要能够走完那条路

现在改变小叶的一个条件：他手头只有 1,000 元，没有其他已落实的资金来源，而项目费用需要先付、验收费在交付后才收到。

B 的预期费用是 1,120 元，最高的一条路径需要 2,000 元。如果修复发生，他可能根本付不起。在这种情况下，把原来的三行结果照抄过来，再说“预期能赚 1,440 元，所以可以做”，已经不符合实际条件了。原表的第二行默认修复可以完成，现在这个前提消失了。

即使把预期费用调整到低于 1,000 元，问题也未必解决。平均要花多少与过程中是否可能需要更多现金，是不同的问题。能否执行，要看资金流入流出的先后，以及各条路径的峰值需求。一个月末看起来盈利的项目，也可能在月中因为付不出必要费用而停下。

他可以重新设计路径，比如获得一笔已约定的阶段款，缩小交付范围，或找到费用明确、能按时完成的修复办法。经过改变后，应当重写结果表。不能只在原表旁边加一句“到时候再想办法”，却继续使用修复必然有钱完成时的收益。

再回到现金有 2,500 元、执行可行的原设定。假如小叶能够动用这些钱，但其中一部分必须留给下个月的必要支出，他为这个项目设定的最大可接受现金损失为 500 元。B 的失败路径损失 600 元，超过了他选择的承受边界。

这个边界不由期望值自动决定。只要他有充分理由保留那部分资源，就可以先排除越界的方案，再在剩余选择中比较收益。若一个备用安排能够把最坏损失降到 500 元以内，则 B 的改进版本可能重新进入比较。

我们因此得到两个不同层面的判断。第一层是方案能否执行，第二层是即便能执行，后果是否值得承担。付不起修复费，是可行性问题；付得起却不愿承受相应损失，是对后果的评价。把两者混成一句“你太保守了”，会丢掉真正需要处理的条件。

在学生项目中，现金以外也有类似约束。课程报告可以选择更有探索性的做法，但如果失败会使另一门课的必交作业完全来不及完成，这个后果就不能只用“成功后作品更漂亮”带过。把重要后果写出来，不等于所有任务都要选择最稳妥的做法；它让承担的风险成为有意识的选择。

五、为什么有人合理地放弃更高的平均收益

1. 同样的金额变化，对人未必有同样的意义

暂时离开小叶的项目，考虑另一个学生的选择。选择甲以后，他手头剩余的可用资金确定为 450 元；选择乙以后，一半概率剩余 100 元，一半概率剩余 900 元。这里计算的是两种选择结束后的资金余额，其他条件保持相同。

不确定方案的平均资源为 $(100+900)/2=500$，高于确定方案的 450。但从 100 增加到 450，可能意味着许多基本安排终于做得成；从 450 增加到 900，可能只是已有安排进一步改善。对这个人来说，前一段资源变化可能更重要。

经济学可以用“效用”描述这种对结果的评价。在一个期望效用模型中，先对每一种最终结果作评价，再按概率求平均。风险厌恶可以用一种边际价值递减的效用函数来表示；它并不等于不了解概率。相关理论可参见 MIT 14.03 第 16 讲关于期望效用与风险偏好的讲义。

为了把区别算出来，假定这个人的评价函数为 $u(W)=\sqrt{W}$，其中 $W$ 是最终资源。平方根只是一个便于计算的示例，不是在宣布所有人的满意程度都遵循这条公式。

不确定方案的期望效用为：

确定获得 450 的效用则为 $\sqrt{450}\approx 21.21$。于是，按这个评价方式，确定方案更好，尽管它的资源期望值更低。

这里不能先把资源平均成 500，再计算 $\sqrt{500}$，当作不确定方案的评价。这样做等于先把波动抹掉，再评价一个现实中并没有承诺给你的确定结果。先评价再平均，与先平均再评价，通常不是同一个数。

2. 理解偏好，不必先给自己拟合一条函数

在这个例子中，确定拥有 400 的评价也是 20，因此它与那种不确定结果在模型中价值相当。450 比这个等价金额更高，自然更值得选。

这不是说所有学生都应该选择 450。如果有人对这里的资源评价接近线性，而且能够承受两种结果，那么他可能选择平均为 500 的方案。另一个人还有与探索有关的具体目标，也可能改变排序。要比较不同人的选择，先看各自重视什么，而不是仅凭现金均值给他们判定理性程度。

学习这个概念的目的，不是每次做 AI 任务前都写出自己的效用函数。实际使用时，一句具体的话常常已经很有价值：“平均多赚的这 240 元，对我并不足以补偿那种失败后果。”只要概率和后果理解得清楚，这句话可以表达一个一致的选择。

同时，也别把任何没有想清楚的拒绝都包装成风险偏好。若一个人误以为失败概率是 80%，而我们讨论的假设为 20%，首先要解决的是他怎样理解事实。偏好说明如何评价后果，不能替代对后果和概率的辨认。

六、概率从哪里来：把把握程度与结果概率分开

1. 教学中的数字可以已知，现实中的数字往往需要估计

本章已经给出 50%、30%、20%，因此学生可以把注意力放在决策关系上。现实中，最难的工作常常恰好是这几个数字。

小叶可能参考自己过去的相似项目，但“相似”需要有具体内容：任务难度是否接近，材料是否齐全，验收标准是否一致，执行者是否具备同样的修改能力，时间是否同样充足。十次生成一张合意的图片，与十次完成一个包含检索、交互和上线的导览系统，并不是同一类事件。

假设他找到了十个确实接近的过去项目，其中五个顺利完成、三个修复完成、两个失败。观察比例恰好对应本章的概率，仍不能把“过去十次的比例”当作“下一次的精确概率”。样本有限，项目条件也可能变动。它是一份可以使用的证据，而不是一个从此不变的属性。

AI 的能力也不宜只用一个通用成功率来描述。对某个明确任务，材料组织方式、工具配置、人工检查和返工安排都会影响最终完成情况。我们要估计的，是某个具体执行方式在特定条件下的结果分布。

2. 能看到的案例，可能已经经过筛选

如果他只翻看同学公开展示的优秀作品，失败项目很可能没有进入记录。拿这些展示来估计成功率，相当于先把很多失败剔除，再宣布成功非常普遍。

同样，个人回忆也容易只留下成功和严重失败，忘掉那些做出来却耗时超出预期、最后悄悄放弃的尝试。一个简单的项目记录，若能保留开始时的范围、最后的结果以及实际费用，就可能比许多模糊印象更有帮助。

记录时还要统一单位。一个项目修改二十轮最终完成，不能写成“二十次失败加一次成功”，再和“另一个项目一次完成”直接混算项目成功率。生成轮次、子任务、完整项目，是不同的统计对象。选择哪个对象，应当与眼下要预测的结果相对应。

3. AI 给出一个概率，不代表这个概率已经得到检验

可以让 AI 帮忙整理过去记录，检查结果分类，列出哪些条件与当前项目不同。这些工作有助于形成判断。但若它直接说“我有 92% 的把握完成”，而没有说明依据和可检验的历史表现，这个数字首先只是一个待验证的判断。

如果某种预测长期声称某类事情有 80% 的概率，而在大量合适的可比案例中，这类事情发生的比例也接近 80%，我们才有理由逐步相信这个概率刻度有意义。这种概率表述与实际频率之间的对应关系，称为校准。这里介绍的是评价方法，不是在替任何具体模型宣称已经校准。scikit-learn 官方文档中的概率校准说明给出了同样的基本含义；阅读时关注定义即可，本章不需要学习它的编程接口。

此外，一个系统生成文字时使用的词语概率，不等于你把整个任务交给它以后完成验收的概率。后者还经过理解任务、调用工具、读取材料、执行修改和接受外部检查等环节。把两个层次的概率直接互换，会让一个看似精确的数字承担它没有回答的问题。

4. 不确定概率，可以先用范围表达

当证据不足时，暂时写“成功概率可能在 55% 到 75% 之间”，往往比凭感觉写成 67.3% 更诚实，也更容易继续分析。这个范围仍然需要理由，例如相似项目的差异、现有材料的缺口和执行者经验。

范围并不自动正确，但它能让我们看见结论对判断误差是否敏感。若范围内各种合理估计都指向同一选择，当前证据也许已经够用；若稍微改一点估计就改变结论，那么补充信息更可能有价值。接下来我们就把这种判断算一遍。

七、先找决策门槛，再看自己离门槛有多远

为方便看清概率的影响，另设一个只有两种结果的简化项目 C：成功时净收益 2,400 元，失败时净收益 −600 元。这里删去了原案例的修复结果，因此 C 是新的演示方案，不能把原 B 的 50% 直接当成它的成功率。

设 C 的成功概率为 $p$，失败概率就为 $1-p$。它的预期净收益是：

我们仍用确定净收益为 1,200 元的 A 作比较。选择 C，成功时会比 A 多得 1,200 元，失败时却会比 A 少得 1,800 元。把这两种得失都按各自发生的概率计入，才能看出承担这份风险在平均收益上是否划算。若只按预期净收益排序，C 严格优于 A 的条件为：

60% 就是这个问题的概率门槛。成功概率恰好为 60% 时，两个方案的预期净收益相同；高于它，C 的预期值较高；低于它，A 的预期值较高。

这张表有一个实际作用：它告诉我们，哪些不确定性值得继续弄清。假如现有证据支持的概率范围是 55%—75%，那么 C 的预期净收益范围为 1,050—1,650 元，跨过了 A 的 1,200 元。不同的合理估计会导致不同排序。

若证据已能把概率范围缩到 70%—80%，相应预期值为 1,500—1,800 元，在整个范围内都高于 A。这不代表没有失败风险，但对于“哪一个现金期望值更高”这个问题，我们不必非要把 74% 与 75% 分清。

图中的斜线表示概率变化怎样影响 C 的预期收益，水平线表示 A。浅色区域对应尚不确定的 55%—75% 范围，区域跨过交点，说明当前估计区间不足以稳定地给两个方案排序。

提高成功率的好处，既包括更有可能赚到 2,400 元，也包括更不容易损失 600 元，两种结果相差 3,000 元。因此，每提高一个百分点的成功概率，C 的预期净收益就增加 30 元。如果一项改进要花 100 元，却最多只把成功概率提高一个百分点，按当前模型，它增加的预期现金收益不足以覆盖费用。若它同时大幅缩短时间，时间价值需要另外纳入，不能用现金表替它作最终判断。

门槛是由收益和损失共同决定的。失败代价上升，即使成功收益不变，值得尝试所需的成功概率也会提高。所谓“成功率已经很高”，要放在这件事成功会得到什么、失败会损失什么的背景下理解。

八、一项任务有多个阶段，费用只在走到那里时发生

1. 每个环节看起来都不错，整体仍可能有明显失败概率

现在考虑另一个 AI 数据整理项目，按顺序执行三个阶段。第一阶段整理输入，支付 100 元，通过概率为 80%；通过以后才进入第二阶段，支付 250 元，条件通过概率为 75%；第二阶段通过后，第三阶段支付 300 元完成交付，条件验收概率为 90%。任意阶段失败就停止，没有其他收入和退款；全部完成后收入为 1,500 元。

“条件通过概率”的意思是，75% 只针对已经通过第一阶段的项目，90% 只针对前两阶段都已通过的项目。由此，完成全部阶段的概率为：

整体成功概率是 54%。这不矛盾：每多一个必须通过的环节，就增加一道通向最终结果的条件。三个百分数也不能相加后除以三，拿平均通过率代表整条路径的通过概率。

这里的乘法并不要求三个阶段彼此独立。我们已经使用了“在前面成功的条件下，下一阶段成功的概率”。如果手头只有三个分别观察到的总体成功率，而不知道前后条件怎样关联，就不能不加分析地照样相乘。

2. 把停止位置变成完整结果表

四行概率相加为 100%。逐行加权，得到预期净收益：

换一种计算方式，可以更直接地看清成本。第一阶段一定发生，费用为 100 元；80% 的项目进入第二阶段；60% 的项目进入第三阶段。因此：

预期收入为 $0.54\times 1500=810$ 元，减去 480 元仍然为 330 元。

如果用“预期收入 810 元减去全部阶段费用 650 元”，就得到 160 元。这个算法让第一阶段已经停止的项目也支付了第二、三阶段费用，低估了收益。另一个方向的错误，是只给最终成功的项目计算支出，把失败中的投入忽略掉。

3. 阶段化的价值，来自具体的停止和支出规则

很多人说“把大任务拆开比较稳”，但仅仅把一个提示分成三段，并不会自动改变经济后果。如果失败后仍然支付后面的费用，或者根本没有判断能否继续的节点，上面的成本节省就不存在。

在本例中，停止规则会使早期失败不再消耗后面的资金。与此同时，早期检查也可能有费用，也可能错误地放弃本来能够完成的项目。是否值得增加检查，要把这些变化一起算进去；下一章会专门讨论为了信息而投入资源的问题。

假如当前另有一个确定净收益为 300 元的可行任务，这条三阶段路径只在期望值上领先 30 元。若第三阶段的条件验收概率其实是 80%，预期收入会降至 $0.8\times 0.75\times 0.8\times 1500=720$ 元。进入阶段的概率与费用未变，预期净收益变为 240 元，排序就反转了。

这提示我们：值得认真检查的，往往是那些能改变最终排序的假设。不要看到“每一步大概都能做”就跳过整条路径，也不必把所有环节的概率都测到同一种精度。

九、同时安排多个 AI 任务，风险会自动摊薄吗

设有两项任务，每项完成可以得到 100 个单位的成果价值，失败则为零。每项成功概率均为 80%，所以各自期望值是 80，合计期望值为 160。为了专门比较风险，这个例子暂不设费用与容量限制，两项任务都可以实际执行。

先假定两个结果相互独立，即知道一个成败，不改变另一个的成功概率。两个都失败的概率为 $0.2\times 0.2=4\%$；恰好一个成功的概率为 $0.8\times 0.2+0.2\times 0.8=32\%$；两个都成功的概率为 64%。

再考虑另一种安排：两项任务共同依赖同一份关键资料。假定资料适用时两项都完成，概率为 80%；资料不适用时两项都失败，概率为 20%。每项单独看，成功概率仍然是 80%，但它们的成败完全一起变化。

两种安排的均值相同，“一项也没完成”的概率却分别是 4% 和 20%。后者的零成果概率是前者的五倍。多安排一项任务，是否能够减少一无所获的可能性，取决于结果之间怎样关联。

在这些有限结果的例子中，总收益的期望等于各项期望之和，不要求独立。独立性在这里影响的是联合结果的分布。把“总期望可以相加”和“多个任务能有效分散风险”当成同一结论，会发生误判。

这对使用 AI 有一个直接启发。让两个执行者分别检查同一段内容，可能有帮助，但如果它们都依赖同一份错误的原始材料，都没有接触到必要的外部事实，那么两次检查可能一起遗漏问题。数量增加，不足以说明失败会彼此抵消。真正要看的是，它们获得的证据、执行路径与关键依赖有多少相同之处。

本例用了完全独立和完全共同变化两个端点，现实常在中间。学生不必先估计出精确的相关系数，才能想到检查共同依赖：两条路径都离不开同一位临时提供材料的人，就已经是一条值得考虑的信息。

重复任务还需要资源支持。若计划做十次，但一次损失就会耗尽后面的启动资金，实际执行次数并非固定为十。不能直接把单次期望乘以十，再用这个总数证明自己一定能走完十次。先前关于现金与时间的约束，在重复决策中依然存在。

十、备用方案：可以花钱改变结果分布

回到小叶的三个结果。除了直接选择 A 或 B，他还可以设计 B 的备用安排。

设他先花 300 元准备一个较简单的导览版本。若互动方案顺利或修复后完成，仍按原来的约定交付；若互动方案失败，他就再花 500 元完成备用版本，按事先与主办方约定的范围验收，取得 1,600 元收入。

为使这个案例可以计算，明确假定：备用版本能按时完成；原方案失败会在足够早的时候被识别；备用版本不受导致原方案失败的因素影响；准备备用版本不改变原方案三种路径的概率。原有 2,500 元现金仍然可用。这些是案例条件，真正安排项目时，需要根据具体执行方式判断它们是否成立。

准备费用在任何结果下都会发生；额外的 500 元只在原方案失败时发生。原方案失败前已经付出的 600 元，也不会因为后来启用备用版本而消失。

新的预期净收益为 $0.5\times 2100+0.3\times 900+0.2\times 200=1360$ 元，比原 B 的 1,440 元少 80 元。最差结果则从损失 600 元，变成获得 200 元。

为什么平均少了 80 元？每次都要多付准备费用 300 元。只有在原方案失败的 20% 情况下，备用安排才额外带来“1,600 元收入减去 500 元执行费”，即增加 1,100 元。预期改善为 $0.2\times 1100=220$ 元，抵不过 300 元准备费，两者相差 80 元。

这项安排因此没有在每一种情况下都提高收益，但它把较差的结果抬高了。若小叶很重视避免现金亏损，少 80 元的平均收益可能值得接受。他也可以继续与 A 比较：备用版本的现金期望为 1,360 元，仍高于 A，但修复情况下只剩 900 元。

这又提醒我们，“更稳”必须说明是哪个指标更稳。原 B 有 20% 的概率现金亏损，备用安排在本模型中没有现金亏损；原 B 有 20% 的概率低于 A 的 1,200 元，备用安排却有 50% 的概率低于 A，因为修复那一行也降到了 900 元。两个说法可以同时成立。

备用安排最高需要先支付 2,300 元，发生在原方案修复完成时：原费用 2,000 元加上准备费 300 元。因此它在设定的现金条件下可行。如果小叶只有 2,100 元，就还需要重新处理资金问题。准备一份备用方案，不等于原有资源限制自动解除。

在实际 AI 工作中，保存可交付的简化版本、给关键材料保留另一种读取途径、预先确认哪些功能可以降级，都可能改变失败后的结果。它们的价值来自具体改变了什么。若两个版本都会被同一个缺失数据阻塞，所谓备用版本就未必具有表中假定的作用。

十一、平均六点四小时，不等于八小时内能交付

预期值不仅用于钱。时间、合格数量和完成进度，都可能是不确定的。

假设一项素材转换任务在 90% 的情况下需要 4 小时，在 10% 的情况下会遇到格式兼容问题，需要 28 小时。这里的时间指从开始到完成的总耗时，所有必要处理已经计入。平均耗时为：

如果距离交付还有 8 小时，能否因为 6.4 小于 8，就判断时间够用？在模型中，仍然有 10% 的概率错过期限。均值低于截止时间，不能消除落在期限以外的那条路径。

这里需要的量是“在八小时内完成的概率”，而不只是“平均多久完成”。前者对应实际交付条件，后者适合描述一类任务的平均耗时。任务若用于一场不能延期的现场活动，10% 的延误可能特别重要；若是可以顺延的个人练习，影响就可能小得多。

假如通过提前开始，把可用时间从 8 小时增加到 10 小时，在这个简化模型中也不会改变按时完成概率：4 小时的路径本来就能完成，28 小时的路径到 10 小时仍然完不成。这个结论不表示缓冲没有价值，而是说缓冲必须与实际延误模式相配。若真实耗时集中在 7—10 小时，两小时的缓冲就可能明显改善结果。

也可以改变工作方式。若兼容问题能在早期被可靠地识别，并及时切换到一条总耗时不超过 8 小时的替代路径，那么按时交付概率才会相应提高。计算时应当使用切换后的总耗时，包括发现问题和启动备用路径的时间。

同一个项目，可能现金期望很好，按时交付概率却不理想。把它们列为不同维度，并没有让决策失去统一性；它让我们先知道各维度的结果，再根据任务真正要求作取舍。

十二、结果出来以后，怎样判断当初是否选得好

现在假设小叶仍有最初设定的充足现金和执行时间，也能接受最坏损失 600 元，并决定按现金期望在可行方案中选择。他因此选了原方案 B，却在这一次碰上失败。这个结果是否证明他当初不该选择 B？仅凭这一次失败，还不能得出结论。失败原本就在结果表中，一个包含失败概率的合理选择，当然也可能失败。

反过来，如果他根本没有确认交付标准，只是看到高收入就直接开工，最后碰巧顺利验收，也不能由此证明他的判断过程可靠。好的结果和好的决定有关，但它们不是同一个东西。

复盘可以先回到行动之前：当时有哪些真正可行的替代方案？记录的收益与成本是否完整？概率依据是否与任务相关？事先已经知道的重要问题是否被忽略？如果答案清楚，失败可能是已经考虑过的风险实现；如果关键条件本来可以知道，却未经检查就被当作成立，则值得改进判断过程。

随后再看新结果提供了什么信息。例如，失败来自此前没有遇到的验收要求，后续类似项目的结果表就应当更新。一次失败不足以精确估计新的成功率，却可能足以发现原来的分类漏掉了一个重要原因。

也要辨认执行是否偏离原计划。若原先预期有一次材料检查，实际为了赶进度省掉了，就不能把结果直接当作原流程能力的证据。既要更新对任务的认识，也要更新对自己能否落实流程的认识。

当学生逐渐熟悉这种思考时，不一定每次都要列一大张表。一个小任务可以只比较几种主要结果；一个承担较多资源的任务，则值得展开概率、费用和备用路径。判断的精细程度应当服务于眼下的选择。

学习价值也可以纳入，但需要说清楚。例如，这次尝试能让你完成一种以后确实要反复使用的工作方式，即使现金均值略低，也可能值得做。不能在失败以后才把所有消耗统一称为“交学费”，却说不出获得了什么、以后怎样使用。

本章让我们学会在现有信息下比较不确定结果。还有一个自然的问题：如果花半天试做，就能明显改善对成功概率的判断，这半天是否值得？要回答它，需要把“知道以后会不会改变行动”也放入分析。下一章《信息价值与试验决策》将沿着这个问题继续。

十三、练习与参考分析

练习一：成功率最高的方案，就最值得选吗

两个资料处理任务占用相同时间，且资源上都可行。甲有 90% 的概率净赚 500 元，10% 的概率净损失 300 元；乙有 60% 的概率净赚 1,000 元，40% 的概率净损失 100 元。这里的净收益均已扣除各路径费用。比较它们的现金期望值、亏损概率和最坏损失，并说明单凭这些数字能否替所有人决定。

**参考分析：**甲的期望值为 $0.9\times 500-0.1\times 300=420$ 元；乙为 $0.6\times 1000-0.4\times 100=560$ 元。乙的平均收益高 140 元，但它亏损的概率也更高，分别为 40% 与 10%。甲较少亏损，一旦亏损却损失 300 元；乙可能更频繁亏损，每次亏损金额为 100 元。

因此，“甲成功率高”和“乙期望值高”都成立。如果一个人最在意亏损频率，可能更喜欢甲；若他设定的单次最大损失为 200 元，甲又可能不符合要求。只按现金期望排序会选乙，但不能据此宣称其他考虑一定错误。它们的风险形状不同，题目没有给出所有人的偏好。

练习二：改进成功率，到哪里才值得付费

一项任务成功时净收益为 1,800 元，失败时净收益为 −400 元；当前估计成功概率为 70%。另有一个确定净收益为 1,000 元的方案。某项改进要额外支付 100 元，在所有结果下都会发生，其他收益不变。设改进后的成功概率为 $p$，写出使改进方案的现金期望不低于确定方案的概率门槛。达到这个门槛，就足以说明值得购买改进吗？

**参考分析：**未改进时的期望为 $0.7\times 1800-0.3\times 400=1140$ 元，已经高于确定方案。设改进后的成功概率为 $p$，则改进方案的期望为 $2200p-500$。要不低于 1,000 元，需要 $p\ge 1500/2200\approx 68.18\%$。

不过，这个门槛只回答了“能否胜过确定方案”。它没有回答“是否值得改进”，因为未改进的原任务也可以选择。若要不低于原任务的 1,140 元，条件应为 $2200p-500\ge 1140$，即 $p\ge 1640/2200\approx 74.55\%$。

所以，把成功率从 70% 提高到 72%，虽然改进方案仍胜过确定方案，却没有抵回额外的 100 元：期望只有 1,084 元，低于未改进的 1,140 元。选择改进时，比较对象必须包括不改进这一条路径。

练习三：第二阶段费用应该乘哪个概率

一个两阶段任务先支付 80 元，第一阶段通过概率为 75%；只有通过后才支付第二阶段费用 200 元，第二阶段的条件成功概率为 80%。全部完成收入为 800 元，否则收入为零。求预期费用和预期净收益，并写出失败路径。

**参考分析：**进入第二阶段的概率为 75%，因此预期费用为 $80+0.75\times 200=230$ 元。整体成功概率为 $0.75\times 0.8=60\%$，预期收入为 480 元，预期净收益为 250 元。

三种结果分别是：25% 的概率在第一阶段失败，净收益 −80 元；15% 的概率在第二阶段失败，净收益 −280 元；60% 的概率成功，净收益 520 元。加权为 $-20-42+312=250$ 元。

第二阶段费用不能乘 60%，因为进入第二阶段但最后失败的项目，也已经付了这笔钱。支付费用的条件是进入该阶段，收到收入的条件是完成全部阶段，两个概率承担不同的含义。

练习四：两个备份，为什么还可能同时没用

你准备用两个 AI 流程分别提取同一份表格中的关键数据。你估计单个流程成功概率均为 90%，于是说“两条都失败只有 1%”。这句话还缺什么条件？请构造一个两条都失败概率明显高于 1% 的情景。

**参考分析：**$10\%\times 10\%=1\%$ 需要两个失败事件独立，或者至少有相应的条件概率依据。单独知道各自的成功率，还不能得出联合失败概率。

例如，表格有 90% 的概率具有完整可读的数据，两条流程在这种情况下都成功；有 10% 的概率缺少关键页，两条流程都会失败。每个流程单独看仍有 90% 成功率，同时失败却为 10%。

这并不说明双流程没有价值，而是提醒你需要了解它们覆盖哪些不同的错误。若问题来自原始材料缺页，换一条读取流程未必能改善，补齐材料才可能改变结果分布。实际判断应针对真实的共同依赖。

练习五：便宜的备用方案一定降低期望吗

原任务有 80% 的概率净收益为 1,000 元，20% 的概率净收益为 −500 元。现在增加一个备用安排，每次准备费 100 元；只在原任务失败时再支付 200 元，取得一笔 1,200 元的备用交付收入。假定备用安排按时可靠完成，也不改变原任务的概率。计算新的结果，判断它是否既改善最坏结果又提高期望。

**参考分析：**原期望为 $0.8\times 1000-0.2\times 500=700$ 元。加入备用安排后，原成功路径净收益降为 900 元；原失败路径的净收益为 $-500-100-200+1200=400$ 元。新期望为 $0.8\times 900+0.2\times 400=800$ 元，比原来提高 100 元。

原因是失败情况下备用安排增加的净收入为 1,000 元，加权后价值 200 元，高于每次发生的准备费 100 元。它与小叶的备用方案不同：这里既提高现金均值，也提高最差结果，但依然牺牲了原成功情况下的 100 元。备用安排对期望的影响要计算，不能一概认为稳定性必然靠降低均值换取。

练习六：结果幸运，是否说明概率估计可靠

同学说：“我让 AI 预测五次任务能否完成，每次它都说有 90% 的把握，后来五次都完成了，所以它报出的 90% 是准确的。”你会怎样回应，并怎样改进后续记录？

**参考分析：**五次全部完成与 90% 的估计相容；如果五次独立且真实成功概率确实为 90%，全部完成的概率为 $0.9^5\approx 59.05\%$，并不奇怪。但这一结果也与其他不少成功概率相容，因此不能仅凭它确认概率准确。

后续可以保留每次行动前的预测、任务条件、验收标准和最终结果，同时记录失败与放弃，逐渐比较相近预测概率所对应的实际完成比例。若任务种类差异很大，也要注意某些类别长期被高估、另一些被低估，汇总比例可能掩盖这种区别。

记录的目的，是改善后面的决定。对于差错代价低、可以随时重做的小任务，没必要为获得精确的概率而先积攒大量样本；对于结果可能明显改变资源安排的任务，弄清估计依据和关键差异就更值得投入。