联合概率与独立性

小叶为一次课程展览准备活动说明文字和到场路线图。他把资料交给 AI，分别生成两份候选成果，再检查时间、报名规则、地点和路线是否符合要求。

如果文字单独有八成概率合格，路线图单独有七成概率合格，那么，一轮就把两项都做好，有多大概率？有人会取两者的平均，得到七成五；有人会直接相乘，得到五成六。还有人觉得两项任务交给了不同工具，应该互不影响。

这些判断都跳过了一个问题：文字合格与路线图合格，是怎样一起出现的？

联合概率研究这种组合。独立性则描述一种特殊关系：知道其中一项的结果，不会改变我们对另一项结果的概率判断。理解它们，可以帮助我们评价完整交付、多步骤流程、备用方案和重复尝试，而不只盯着某个环节的单独表现。

一、先保留成对结果，才知道一次任务究竟完成了什么

1．两份合格率，不能替代一张成对记录

以下材料、数量和工具表现全部是教学虚构。先构造一百轮任务记录，每轮的两份首次候选成果都已经取得并完成核验，不混入修改后的版本。

令 $A$ 表示“本轮说明文字合格”，即所需内容完整且与活动资料一致；$B$ 表示“本轮路线图合格”，即地点、方向和入口等必要信息符合核定路线。

小叶把结果按同一轮配对，得到：

文字合格八十轮，路线图合格七十轮，这与前面的单项比例一致。但两项都合格只有六十轮。另有二十轮文字可以用、图需要改，十轮图可以用、文字需要改，十轮两项都需要处理。

先以“从这固定的一百轮中等概率抽一轮”为概率试验，各表内比例就有明确含义。它们精确描述这次抽取；若进一步用来估计未来任务表现，还需要考虑未来材料与流程是否可比。

2．联合概率对应“条件一起满足”

两项都合格的事件写成 $A\cap B$，其中 $\cap$ 表示交集。在这张表中：

它就是这两个事件的联合概率。“一起发生”不要求两份成果在同一秒钟完成，而是说，在同一轮所定义的任务中，两项要求都满足。

这里的六成既不是八成与七成的平均，也不是它们的乘积。它来自实际给出的配对关系。

如果小叶只保留文字合格八十轮、路线图合格七十轮这两个总数，却丢掉哪些结果属于同一轮，就失去了判断整轮完成情况所需的信息。分别看两张统计表，可能知道每项各自做得怎样，却不知道问题是否集中在同一些任务里。

3．“至少一项”与“全部”回答不同的问题

如果小叶关心一轮中至少有一份可以继续使用的成果，对应 $A\cup B$，其中 $\cup$ 表示并集，允许两项都合格。

从表中把六十、二十、十相加，得到九十轮，因此：

也可以使用：

直接把八十与七十相加，会把两项都合格的六十轮数两遍，所以要减去一遍。并集的加法关系与交集的条件乘法关系，可参见 ProbabilityCourse 的条件概率与事件运算说明。

如果必须同时发布文字和路线图，六成更接近本例中的完整交付比例。九成则说明，多数轮次至少留下一份合格成果。两个数字都正确，适用的问题不同。

“恰好一项合格”又是另一件事：它只包含二十轮和十轮，概率为零点三。“至少一项”不能缩成“只有一项”，“两项都不合格”则只有零点一。先把要计算的结果说清楚，公式才有明确目标。

二、联合分布：把多个变量的组合放在一张表里

1．从事件改用变量，记录更多组合

令 $X$ 表示文字是否合格，合格取一，不合格取零；令 $Y$ 表示路线图是否合格，同样用一和零记录。每轮结果就是一个有顺序的数对 $(X,Y)$。

$(1,0)$ 表示文字合格、图不合格；$(0,1)$ 表示文字不合格、图合格。这两个结果都有一项合格，但需要修改的对象不同，因此不能在记录时提前混为一类。

给每一个数对分配概率，就得到 $X$ 与 $Y$ 的联合分布。对于这样的离散变量，可以用联合概率质量函数表示：

逗号表示两个取值条件同时满足。$p_{X,Y}(1,0)$ 在本例中为零点二，$p_{X,Y}(1,1)$ 为零点六。函数的输入是一对取值，输出是这对取值出现的概率。

离散联合分布的函数表示、表格形式及边际求和，见 Statlect 的联合概率质量函数说明。

2．联合表怎样得到单个变量的分布

把数量表除以一百：

如果只问文字是否合格，就把图的不同结果合并。$X=1$ 对应零点六与零点二两格，相加为零点八。用符号写：

${\sum }_y$ 表示把 $Y$ 的所有可能取值都考虑一遍，再相加。求 $Y$ 的分布时，则固定列，对 $X$ 的可能取值求和。

得到的单变量分布称为边际分布。这个名字可以直接联系表格的边缘：行列内部保留组合，边缘的总和只描述一项。它没有“次要”或“不重要”的意思，只是把另一项的信息汇总掉了。

3．从组合还能算出整个任务的其他结果

设 $K=X+Y$，表示一轮中合格成果的份数。它可能取零、一、二。

这时，小叶为了研究“能留下几份成果”，才把两种一份合格的情形合并。联合表让他可以按当前问题重新组合，而不是一开始就丢掉细节。

每轮合格份数的期望为：

这也等于文字的期望合格份数零点八，加上图的零点七。期望相加本身不要求两项独立，但“平均每轮一点五份合格”并不表示“每轮有七成五概率两份都合格”。平均份数与全部合格的概率仍是不同指标。

联合分布并不限于零和一。小叶也可以记录“核验通过的题目数量”与“需要修改的分钟数”，或者同一任务的三个环节状态。记录维度增加以后，组合更多，但基本想法一样：先描述哪些取值会怎样共同出现，再按照要回答的问题汇总。

三、独立性究竟省略了哪一部分信息

1．独立是一个概率关系

两个事件 $A$、$B$ 独立，定义为：

当 $P(A)>0$ 时，它等价于：

也就是知道 $A$ 发生后，对 $B$ 的概率判断不变。相应条件有正概率时，也可以从另一方向表达为 $P(A\mid B)=P(A)$。定义和这一等价关系见 ProbabilityCourse 的独立性章节。

如果独立成立，我们无需再单独提供交集概率：单项概率的乘积已经把它确定了。所以独立性是一种有用的简化，省去了部分组合信息。

但它也是一个实质条件。在开头的表中，两项同时合格是零点六，单项乘积却是 $0.8\times 0.7=0.56$，二者不等，因而这个抽取模型中的两个合格事件不独立。

2．从条件概率也能看见不独立

在文字合格的八十轮中，路线图合格六十轮，因此：

在文字不合格的二十轮中，图合格十轮：

知道文字结果以后，对图的判断会改变。整体路线图合格率为七成；知道文字合格后变成七成五，知道文字不合格后则变成五成。

这说明两种结果在给定的概率模型中有关联，尚没有告诉我们关联的原因。可能是同一份材料的清楚程度共同影响两项，也可能是工作流程中的其他因素。不能仅凭这张表，就认定文字合格“导致”路线图更容易合格。

独立性讨论的是结果的概率关系，而“由谁造成谁”属于更进一步的问题。后面的相关性与因果章节会继续展开。

3．不同工具、不同窗口，不自动等于概率独立

小叶让一个工具写文字，另一个工具画路线，看起来像是分开工作。但是两边可能读到同一份活动资料，也可能沿用同一处地点错误。

在这种情况下，即使两个工具没有直接交流，它们仍可能因为共享背景而一起顺利、一起出错。相反，两种结果来自同一个系统，也不意味着任何两个事件都必然依赖；是否独立，要看具体事件及其概率关系。

“相互独立工作”在日常语言中经常指没有互相干涉。概率里的独立更具体，它关心一个结果有没有提供关于另一个结果的信息。把这两个含义区分开，小叶就不会仅凭工具数量决定概率能否相乘。

对于离散随机变量，独立性要求每一种取值组合都满足：

这是把事件的独立关系扩展到整个变量分布，见 Statlect 的随机变量独立性说明。对于取值较多的变量，只看某一格碰巧等于乘积，还不足以说明整张表都独立。

4．独立与互斥分别在描述什么

再定义两个事件：$U$ 是“一轮恰好只有文字合格”，$V$ 是“一轮恰好只有图合格”。它们不能出现在同一轮，因此互斥，$P(U\cap V)=0$。

但 $P(U)=0.2$，$P(V)=0.1$，乘积为零点零二，显然不等于零。这两个事件并不独立。知道本轮恰好只有文字合格，就已经知道“恰好只有图合格”不可能发生。

互斥讨论两者能否同时发生；独立讨论知道一者后，对另一者的概率判断是否改变。当两个事件概率都大于零时，互斥会使它们不独立。独立与补集、互斥的这些基本关系，也见于前述 ProbabilityCourse 独立性章节。

把“互不相干”想象成两个完全不重叠的圆，容易在这里出错。两个概率都大于零的独立事件，交集概率是正的，它们完全可以一起发生。

四、单项表现一样，为什么整轮交付可以很不一样

1．保持八成与七成，重新安排组合

现在比较三张新的教学表。它们不是开头那一百轮记录的重新统计，而是三种不同的联合分布模型；每种都用一百轮按模型构造的记录来表示。

先检查边际：三种模型中的文字合格数都是八十，图合格数都是七十。因此，如果工具介绍只展示这两项合格率，三种情形看起来完全一样。

但全部合格的比例分别是百分之五十、五十六和七十。模型乙符合独立关系；模型甲中，两项合格分散在更多不同轮次；模型丙中，两项合格更集中在相同轮次。

三张小表具有相同的行列总和，内部配对不同。图中颜色深浅表示每格占全部轮次的比例，不能把行内比例与总体比例混在一起。

2．同样的平均产出，对不同目标意味着什么

如果目标是一次拿到完整的文字与图，模型丙的七成最高。但如果目标是每轮至少留下一份合格成果，模型甲达到百分之百，模型乙为百分之九十四，模型丙反而只有百分之八十。

原因就在“两项都不合格”这一行：模型丙虽然拥有更多全部成功，也把失败更集中到一起。模型甲没有两项都失败的轮次，却经常只有一项合格。

三种模型中，合格成果总份数都是一百五十，平均每轮一点五份。这再次说明，平均产出不能代替对组合的理解。需要一次交付全套成果，与需要尽量避免空手而归，关注的是不同结果。

这不是让小叶单靠一张概率表决定采用哪种真实流程。它先帮助他看清自己要优化什么，随后才能研究输入、工具搭配和核查方式如何改变这些组合。

3．即使不知道是否独立，也能算出一些范围

仅知道文字合格率零点八、图合格率零点七，两项都合格不可能超过零点七，因为“都合格”必然属于“图合格”的一部分。

下限又是多少？两项合格概率相加为一点五，而至少一项合格的概率不能超过一。根据并集公式：

所以在这两个边际下：

模型甲与模型丙正好达到这两个边界。独立模型的零点五六只是其中一个有特定结构的点。

更一般地，交集概率满足：

这可以直接从概率非负、交集包含关系与并集不超过一推出来，不需要另加独立假设。

4．用一个未知数，看清缺的究竟是哪部分

如果设 $t=P(A\cap B)$，整张表可以写成：

四个格子都必须非负，正好要求 $t$ 在零点五与零点七之间。给定边际以后，本例仍然缺少一个描述配对的量。独立假设相当于把它指定成 $t=0.56$。

因此，当小叶只有两份单项成绩单时，可以先保留范围，再找成对记录补充 $t$。不必把不知道的部分直接用乘法填上，也不必因为缺少这一项信息就完全无法分析。

五、多步骤流程：能相乘，不一定是因为独立

1．沿着实际流程看每个分母

换一个新的虚构任务。小叶用 AI 协助整理活动报名表，流程分三步：正确读取报名数据、生成符合约束的分组表、导出可打开且内容完整的文件。

每一步都有验收，前一步未通过时就停在该处，本轮不进入下一步，也不在本例中继续重试。令 $R$、$G$、$F$ 分别表示已经通过读取、分组、导出这三个步骤的验收。

假设：

第二个概率的参考范围，是已经读对数据的任务；第三个概率的参考范围，是读取与分组都已经通过的任务。它们不是三个分别从全部任务中计算的单项边际。

为了直观看见分母变化，构造一万轮恰好符合该模型比例的教学记录。九千轮读取通过，其中七千二百轮分组通过，其中六千八百四十轮导出通过。

这张图中的九成、八成、九成五，是各自出发位置上的通过概率。沿着一条完整通过路径计算：

2．乘法真正使用的是条件链

我们用到的是：

它是条件概率的链式法则。只要涉及的条件概率有定义，这个分解不要求三个事件独立。多事件的链式展开可参见 ProbabilityCourse 的条件概率链式法则。

在当前流程中，下游验收通过反而必然意味着上游已通过。知道导出通过，就已经知道读取通过，两个事件显然不是互不提供信息。

如果把每一步“已经通过”的概率都放到全部任务中计算，就有 $P(R)=0.9$、$P(G)=0.72$、$P(F)=0.684$。它们不是刚才那三个条件概率，不能再相乘来计算完整通过。

在本例的停止规则下，$F$ 本来就包含前面步骤通过的要求，完整通过概率已经是零点六八四。把三个累计通过比例相乘，会重复折减前面已经计入的条件。

3．未进入下一步，与下一步做错了，要分开记录

在一万轮教学记录中，读取未通过一千轮；分组未通过一千八百轮；导出未通过三百六十轮；完整通过六千八百四十轮，合起来恰好一万轮。

读取未通过的一千轮没有进入分组和导出，不能拿它们评价导出工具处理合格分组表时的表现。导出实际接收七千二百轮，其中六千八百四十轮通过，条件通过率才是百分之九十五。

如果小叶只看全部一万轮里有多少轮已经导出，会得到百分之六十八点四。这个指标适合评价整条流程，但不能直接说“导出这一步自身只有六成多的合格率”。

记录每一步的进入数、通过数、未通过数和未进入状态，既有助于计算，也有助于定位应该改哪里。否则，看见最终成果少，很容易把上游的损失归到最后一个工具身上。

4．十项各有九成五，全部通过就有九成五吗

再考虑十项必须全部满足的要求。如果已知它们共同独立，而且每项单独通过概率都为零点九五，那么：

每项看起来都相当可靠，完整组合仍可能明显低于单项。这能解释为什么一个较长的 AI 任务，每一步看着都“差不多能做好”，最终一次交付仍需要检查。

如果没有独立依据，只知道每项边际都是百分之九十五，就不能直接指定这个答案。后面会进一步说明，共同独立比任意两项看起来独立更强。

还有另一种能够得到相同乘积的情形：给定前面各项均已通过，接下来每一步的条件通过率都是百分之九十五。此时可以用条件链相乘，同样得到上述数值。这两种计算依据不同，一种使用共同独立的单项概率，另一种使用逐步对应的条件概率。

判断乘法是否合适，关键是把每个因子读完整，而不只是看公式里有没有乘号。

六、备用方案：至少有一个成功，怎样计算

1．先把“全部失败”算出来

前面的文字与图是两个都需要的成果。现在换一种安排：小叶让两种方式分别提取同一份活动材料中的关键信息，只要得到一份通过核验的完整提取结果，就能继续后面的工作。

令 $S_1$、$S_2$ 表示两种方式的首次结果分别合格。先设两者的合格概率都为零点八，并且两个合格事件独立。这是一套新的教学模型。

至少有一个合格，等价于不是两个都不合格，所以：

从成功事件的独立性，可以推出对应失败事件也独立，因此这里能乘两个零点二。独立事件的补集以及用“全部未发生”计算“至少一项发生”的公式，见 ProbabilityCourse 的独立性说明。

2．多出的十六个百分点，从哪里来

如果只做第一种方式，合格概率为八成。加入第二种方式以后，多出来的成功必须发生在“第一种未合格、第二种合格”的范围。

在独立模型中，这部分概率为：

八成加上这一成六，才是九成六。不能把两种方式各自的八成直接相加，因为其中有大量两种都合格的重复部分。

如果安排是第一种未通过才运行第二种，并且能够准确识别第一次是否通过、第二种仍满足所设的条件表现，那么最终成功概率也可以写成：

在独立模型中，最后那个条件概率等于零点八，得到相同结果。若只在失败以后记录第二种方式的表现，记录得到的本来就是这一条件概率，不能不加区分地把它称为第二种方式面对所有材料的平均水平。

3．有一个正确候选，不等于已经拿到了正确成品

前面的九成六对应“候选结果里至少有一份合格”。小叶还需要识别合格结果，并把它用于后续工作。

如果两份提取结果不同，他只是随便选一份，那么存在正确候选的概率不能自动变成最终选对的概率。核验过程把“有机会得到”连接到“确实采用了合格成果”。

在独立八成模型中，如果完全不看内容、等概率随机选择两份中的一份，选中合格结果的概率仍为八成。因为随机选择并没有使用“两份中哪一份更可靠”的信息。只有明确选择和核查如何进行，才能进一步评价最终交付。

备用方案的作用，因此不只是多调用一次工具，还包括它能够补上哪些失败，以及怎样确认补上的结果已经满足要求。

七、条件独立：分开运行，仍然可能共享同一种难度

1．把材料背景加入模型

现在修改刚才的两种提取方式模型，具体考虑材料结构。假设抽到结构清楚材料的概率为零点八，抽到结构杂乱材料的概率为零点二，两类覆盖本例全部材料。

在结构清楚的材料中，两种方式各自的首次合格概率为零点九；在结构杂乱的材料中，各自为零点四。再假定，在给定材料类别后，两种方式的合格事件独立。

这套设定不声称真实工具一定如此，而是用一个完整模型考察：两种方式即使在固定背景下没有额外关联，共享背景仍会怎样改变总体组合。

令 $C$ 表示材料结构清楚，$C^c$ 表示结构杂乱。每一种方式单独的总体合格概率都是：

从单项平均看，它们又回到了各自八成。于是，小叶很容易沿用上一节的九成六结论。但现在的独立条件已经变了。

2．在每个背景内部相乘，再合并背景

给定结构清楚，两种都合格的概率是 $0.9^2=0.81$；给定结构杂乱，两种都合格的概率是 $0.4^2=0.16$。

用两类材料的权重合并：

它不等于两个总体八成相乘得到的零点六四。我们可以在每个材料类别内部相乘，却不能因此把汇总后的两个边际也当成独立。

同理，两种都不合格的概率为：

因此，至少一种合格的概率为：

它仍然比只做一种的八成高，但没有达到上一节的独立模型中的九成六。差异来自同一份材料把两种尝试的结果联系起来。

3．用两千轮教学记录看共同失败

构造两千轮恰好符合上述模型比例的教学记录：

结构杂乱材料只占两成，却贡献了一百四十四轮共同失败，占全部一百六十轮共同失败的九成。这不是说两种工具相互传染了错误，而是本模型中的这一类材料让两者都更容易失败。

图中两种模型的单项合格率都为八成。考虑材料类别后的模型，既有更多两种一起合格，也有更多两种一起失败；只有一种合格的情形相应减少。

这能帮助小叶选择改进方向。如果某类材料的结构让两种提取方式都容易漏项，增加一次相似尝试可能带来有限补充；重新整理材料结构、明确字段位置，或者加入一种依靠不同线索的核查方式，可能更值得试验。是否改善、改善多少，还要看实际结果，而不是由“方法不同”四个字自动保证。

4．第一次失败以后，再试一次的概率也会改变

只看第一种失败的轮次，有四百轮，其中第二种成功二百四十轮。因此：

它已经不是总体八成。因为第一种失败的材料中，结构杂乱的占比提高了：清楚材料贡献一百六十轮首次失败，杂乱材料贡献二百四十轮，后者占六成。

知道首次失败，就得到了一条关于材料难度的信息，进而改变对第二种方式的判断。这个作用可以存在于两种没有读取对方答案、也没有直接交流的运行之间。

于是，用失败后的条件概率重新计算：

它与分材料类别计算完全一致。上一章讨论过证据怎样更新判断；这里看到，共享条件使一次结果能够成为关于另一次结果的证据。

5．条件独立的完整说法是什么

“给定 $C$ 后独立”表示：

在相应条件概率有定义时，它也表示：

意思是材料类别已经知道以后，首次结果不再提供关于第二次结果的额外信息。条件独立的定义及它与不带条件的独立之间的区别，见 ProbabilityCourse 的条件独立章节。

本例还明确假定在 $C^c$ 内也独立，才可以分别在两类材料中相乘。仅有“给定清楚材料时独立”，不能替另一类材料也做出相同假设。

“已经考虑了材料类别”与“没有考虑材料类别”，是两个不同的信息背景。独立性跟着这个背景一起讨论，才不会被误当成某个工具永久不变的标签。

八、两两独立，不代表整个组合共同独立

1．三个开关的小实验

小叶想构造几种测试配置，观察 AI 在不同要求下生成结果的表现。他使用三个开关：$Z_1$ 表示是否附示例，$Z_2$ 表示是否要求表格，$Z_3$ 表示是否附加核验说明；一表示开启，零表示关闭。

为了生成这组配置，他先独立、等概率地选择前两个开关的零或一，再规定：前两个开关恰好有一个开启时，第三个开启；否则第三个关闭。

这是一个刻意设计的测试配置规则，不是说 AI 的三个表现天然遵循这个关系。由规则直接得到四种等概率配置：

每个开关都有一半概率开启。只看任意两个开关，其零零、零一、一零、一一四种组合也恰好各占四分之一。

例如 $Z_1$ 与 $Z_3$ 同时开启，只出现在第三行，概率为四分之一，等于各自二分之一的乘积；其他组合也一致。因此这两个二元变量独立。对另外两对检查，会得到相同结果。

2．把三个合起来，规则就显现了

如果因为任意两个都独立，就直接把三个开启概率相乘，会得到八分之一。但表中没有一一一，三个同时开启的实际概率为零。

原因是，单独知道第一个开关，不足以确定第三个；单独知道第二个也不足以确定第三个。但同时知道前两个，就能根据规则完全确定第三个。

所以，多项系统里，某个关系可能只在组合信息中出现。只比较任意两项，不能保证已经看到了全部关系。

3．共同独立比两两独立多要求什么

三个事件共同独立，也常称相互独立，需要三对事件分别满足独立关系，还需要三者的交集概率等于三个单项概率的乘积。

推广到更多事件，要求任意取出其中一组，交集概率都等于该组各单项概率的乘积。不能只检查全部事件那一个大乘积，也不能只检查所有两两组合。这一定义见 ProbabilityCourse 关于多个事件独立的说明。

日常工作并不一定要枚举所有组合来证明一套系统独立。很多时候，需要根据任务生成机制建立合理模型，再用记录检查它是否足以支持当前计算。但当小叶要把十个单项概率连续相乘时，应当知道这个简化比“任意两个看起来没什么关系”更强。

开关例子也提供了一种理解提示：多个工具的结果可以通过共同规则、共享输入或某种组合约束相联系；连接不一定只出现在工具两两交流的地方。

九、筛选记录，也可能改变独立关系

1．从原本独立的模型中，只保留有成果的轮次

为了看另一种情况，现在回到第六节的独立模型：两种提取方式各自合格概率为八成，且彼此独立。这里不再使用第七节的材料分层模型。

用一百轮按模型构造的记录表示，两种都合格六十四轮，只有第一种合格十六轮，只有第二种合格十六轮，两种都不合格四轮。

假设小叶只把“至少有一种合格”的轮次放进成果库。于是成果库保留九十六轮，排除了四轮两种都不合格的记录。记入选事件为 $V=S_1\cup S_2$。

在成果库中，知道第一种不合格，就必然知道第二种合格；否则这一轮根本不会入选。因此：

但在成果库中，第二种的总体合格比例为八十除以九十六，也就是六分之五，并不是一。知道第一种结果，已经会改变对第二种结果的判断。

2．关系变化来自筛选，未必来自工具相互作用

这两种方式在原模型中独立，进入成果库后却不独立。小叶没有改工具，也没有让它们交换答案，改变的是所研究的记录范围。

在全部任务中，第一次失败时，第二次仍可能失败；在筛选后的库中，这种共同失败已经被规则排除。于是两者的组合关系跟着变化。

条件独立不必推出总体独立，总体独立也不保证加入任意条件后仍然独立，这一双向区别可参见 ProbabilityCourse 的条件独立说明。

理解这一点，有助于小叶阅读成果展示、成功案例库或筛选后的运行日志。库里的材料并不一定错误，但如果不知道怎样入选，就可能把库内关系误当成所有任务的关系。

这也提醒他自己记录过程时，把没有得到成果的轮次留住。失败记录不仅影响平均合格率，还可能影响我们对多个环节怎样一起失败的认识。

十、在实际工作中，怎样用好这套知识

1．让记录保留任务之间的对应关系

如果小叶想评价完整交付，一条记录应能找到同一轮的文字、图、输入材料与核查结果。如果想评价备用方案，则要知道两种方式面对的是否同一份材料、各自是不是首次候选，以及第二种是否只在第一次失败后才运行。

把不同轮次的结果混在一起，或把第一次失败与后来的修改版任意配对，会改变正在研究的事件。图表仍然可能算得很整齐，解释却已经偏离实际工作。

例如，把开头的一百个文字结果与一百个图结果打乱重新配对，生成的是另一套组合。它可以用于某种模拟，却不能替代原始一轮内两份成果的关系。成对记录中的编号，保存的是我们需要的联合信息。

2．把独立当作可说明的假设

有时为了初步估算，小叶可以先用独立模型：单项概率相乘，看全部合格大约处于什么水平；通过全部失败的补集，看备用方案可能带来多少帮助。

随后应当问，哪些共享条件可能使这个简化偏离当前任务。如果两项都依赖同一份地点资料，就关注资料错误时会不会一起失败；如果第二步只处理前一步筛选后的结果，就改用对应的条件概率；如果结果库只留下成功记录，就找回未入选的轮次；暂时找不回时，把结论限定在入选记录中。

这不是要求使用 AI 前先完成一套统计研究。简单任务可以先做，结果顺手记录；当任务变长、重复调用增多、需要承诺交付时，再把对组合关系的认识逐渐补上。

3．数据里的接近，不是永远严格相等

本章数量都按教学模型构造，因此可以精确检查是否等于边际乘积。真实样本中，即使背后的过程独立，有限记录的联合比例也未必恰好等于样本边际乘积；反过来，某次碰巧很接近，也不能证明以后始终独立。

后续抽样与统计判断章节会处理这些问题。当前先掌握要比较什么：单项分布、成对结果、已有条件，以及实际关心的是全部、至少一个，还是合格数量。

小叶由此得到的能力，是在面对多个 AI 结果时，不再只问每一项看起来有多好，还能继续问：它们怎样共同构成一份成果，哪些失败会一起出现，新增一次尝试究竟补上了什么。这些问题把概率知识连接到了真实的任务组织。

十一、练习与参考分析

练习一：一张表可以回答哪些不同问题

使用开头的百轮记录：两项都合格六十轮，只有文字合格二十轮，只有图合格十轮，两项都不合格十轮。

求全部合格、至少一项合格、恰好一项合格的概率，以及每轮合格份数的期望。两个合格事件是否独立？小叶能否把“平均合格一点五份”解释为“完整交付概率七成五”？

参考分析：

全部合格取第一类，为零点六；至少一项合格合并前三类，为零点九；恰好一项合格合并中间两类，为零点三。合格份数的期望为 $2\times 0.6+1\times 0.3+0\times 0.1=1.5$。

边际文字合格概率零点八、图合格概率零点七，乘积零点五六，不等于交集零点六，所以本抽取模型中的两个事件不独立。

也可以查看条件：文字合格时图合格概率为六十除以八十，即零点七五；它与总体图合格率零点七不同。

一点五的单位是份数，零点七五则被错误地当成了整轮完成概率。把平均合格份数除以两份，只得到按这两项等权计算的平均合格比例，不能据此恢复它们是否在同一轮一起合格。

练习二：缺少联合信息时，先检查范围

另一个模型的单项概率仍为文字零点八、路线图零点七。小叶暂时把两项都合格的概率设为零点六二。

请补全另外三种组合，检查是否构成合法联合分布，计算至少一项合格的概率。如果有人把两项都合格设为零点四，又会遇到什么问题？

参考分析：

只有文字合格为 $0.8-0.62=0.18$，只有图合格为 $0.7-0.62=0.08$，两项都不合格为 $1-0.62-0.18-0.08=0.12$。

四项非负、总和为一，边际保持八成和七成，因此是一套合法模型。至少一项合格为 $1-0.12=0.88$。它不独立，因为零点六二不等于零点五六。

如果交集设为零点四，则只有文字合格零点四、只有图合格零点三，前三类总和已经达到一点一，“两项都不合格”会变成负的零点一，无法成为概率。

只靠这两个边际，就能把交集限制在零点五到零点七之间。因此，不知道具体配对并不意味着所有数值都同样可能；也不意味着只能选择独立乘积作为唯一答案。

练习三：流程中的九成五属于哪个范围

在报名流程中，读取通过概率九成，读取通过后分组通过概率八成，前两步通过后导出通过概率九成五。未通过就停止，不重试。

求完整通过概率。按一万轮教学记录表示，各步有多少进入、通过和停止？如果分组条件通过率提高到九成、另外两个条件保持不变，完整通过概率又是多少？

参考分析：

完整通过为 $0.9\times 0.8\times 0.95=0.684$。读取进入一万轮、通过九千轮、停止一千轮；分组进入九千轮、通过七千二百轮、停止一千八百轮；导出进入七千二百轮、通过六千八百四十轮、停止三百六十轮。

九成五是六千八百四十除以七千二百。把读取就已停止的任务纳入导出工具的处理成绩，会混淆未进入与已经执行但未通过。

分组条件通过率改为九成后，完整通过概率为 $0.9\times 0.9\times 0.95=0.7695$，即百分之七十六点九五，比原来提高八点五五个百分点。

这是新模型的结果，依赖另外两项条件表现不变。计算沿用逐步条件链，并没有把读取、分组、导出当成独立事件；最后一步已经通过还意味着前两步已通过。

练习四：两种八成方法，为什么没有得到九成六

使用材料分层模型：结构清楚占八成、两种方式各自合格率九成；结构杂乱占两成、两种方式各自合格率四成；给定每一种材料类别后，两种合格事件独立。

求单项合格概率、两种都失败概率、至少一种合格概率，以及第一种失败后第二种合格的概率。只把第二种换成不同名称的工具，能否据此把答案改成九成六？

参考分析：

单项为 $0.8\times 0.9+0.2\times 0.4=0.8$。共同失败要先在类别内部计算，再加权：$0.8\times 0.1^2+0.2\times 0.6^2=0.08$，所以至少一种合格为零点九二。

第一种失败且第二种合格的概率为 $0.8\times 0.1\times 0.9+0.2\times 0.6\times 0.4=0.12$。除以第一种失败概率零点二，得到条件概率零点六。

这个六成说明，备用方式面对的首次失败群体，与全部材料的构成不同。不能用总体八成替代失败后的六成。

不同工具名称并不提供新的概率条件。只有实际机制与表现发生了怎样的变化得到说明，才能重新建立模型。独立性是所研究事件之间的关系，不是名称或窗口数量赋予的属性。

练习五：三个开关的乘法哪里出了问题

在第八节的配置规则中，四种配置零零零、零一一、一零一、一一零各占四分之一。

请检查任意两个开关是否独立，计算三个都开启的概率，并比较 $P(Z_3=1\mid Z_1=1)$ 与 $P(Z_3=1\mid Z_1=1,Z_2=1)$。如果想让三个开关共同独立且各自一半概率开启，可以怎样改变生成规则？

参考分析：

任意选两个开关，四种二元组合各出现一次，概率均为四分之一，等于两个边际二分之一相乘，所以两两独立。

但三个都开启从未出现在规则允许的状态中，概率为零，并非八分之一。给定 $Z_1=1$，还剩一零一与一一零两种等概率配置，第三个开启概率为二分之一；再知道 $Z_2=1$，就只剩一一零，第三个开启概率降为零。

单独一项与组合信息提供的内容不同，正是两两独立不足以推出共同独立的原因。

如果第三个开关也独立、等概率地选择零或一，不再由前两个决定，就会得到八种等概率配置，每种八分之一；这时三个开关共同独立。修改的是配置生成机制，而不是仅把原表中的零替换成一个乘积。

练习六：只保留有成果的记录以后

使用原本独立、两种方式各自八成合格的模型。在一百轮按模型构造的记录中，六十四轮都合格、十六轮只有第一种合格、十六轮只有第二种合格、四轮都不合格。成果库只保留至少一种合格的九十六轮。

在成果库内，两种方式的边际合格概率和两种都合格概率分别是多少？它们在这个条件下是否仍独立？能否据此断言，两种工具在全部任务中本来就不独立？

参考分析：

两种方式各有八十轮合格，条件边际均为 $80/96=5/6$。同时合格为 $64/96=2/3$。

如果它们在入选条件下独立，联合概率应等于 $(5/6{)}^2=25/36$；实际为 $2/3=24/36$，二者不同。因此，筛选后的两个合格事件不独立。

也可以从条件范围理解：入选记录中第一种失败，就意味着第二种一定成功；这个信息显然会改变判断。

不能把这种关系直接推回全部任务。在题目给定的原模型中，两种方式确实独立。改变关系的是排除了共同失败的入选规则。成果库能够描述入选后的表现，但评价所有任务时，还需要把没有入选的记录放回对应范围。