概率分布

小叶准备把课程材料整理成自测题。他尝试两种生成方式，每次都让 AI 给出四道候选题，再按照原材料核查。二十轮以后，两种方式平均每轮都得到两道可用题。

如果到这里就停止比较，他可能认为两者差不多。但查看记录发现，方式甲的大多数轮次得到两道，少数得到一道或三道；方式乙则经常一道可用题也没有，也经常四题都可用。平均数相同，安排工作时的感受可能很不一样。

本章要讲的概率分布，就是对“结果可能落在哪里、各处占多少”作完整描述。它可以写成表格，也可以画成图，或者用数学函数表示。掌握这些表达，能帮助我们从单个成功故事或一个总体分数，走向对一整组结果的理解。

所有生成方式、材料、频数和时间都是虚构教学设定，没有进行真实模型测试。

一、从一个数字，展开为一张结果表

先把试验说清。小叶选取二十份课程材料，事先确认每份都足以支持四道不同、明确可回答的问题。对每一份材料，方式甲和方式乙各执行一轮首次生成，每轮都返回四道候选题，因此每种方式各有二十轮记录。本案例先不处理未返回情形，也不把后来修改过的题计入首次结果。

核查要求是：题干清楚，答案能由所给材料支持，保留下来的题目彼此不重复。遇到重复题，只保留按候选顺序最先出现且本身合格的一题。这样，每轮的可用题数X只能是0、1、2、3或4。

下面只展示两种方式各二十轮的汇总。

方式甲一共取得四十道可用题：四轮各一道，十二轮各两道，四轮各三道。方式乙也取得四十道：四轮各两道，八轮各四道，另八轮没有可用题。各除以二十轮，都得到每轮两道。

平均数便于概括总体产出，但它把产出怎样分散到各轮这件事压缩掉了。小叶若要每份材料至少配两道自测题，就会特别在意低于两道的情况。若他正在寻找少数能直接得到完整四题的材料，又会关心四道全可用的情况。

这张表允许他按不同目标重新提问，而不必重新生成数据。方式甲有十六轮至少两道可用，方式乙有十二轮；方式乙有八轮四道全可用，方式甲这一批没有。某种方式是否适合，开始与具体任务要求发生联系。

这里不能把方式甲的零轮四题全可用，写成它永远不可能产生四道好题；也不能把方式乙的八轮全不可用当成未来固定四成失败的保证。表格首先描述本批结果，向未来推广还需要材料、设置与样本量等依据。

它也没有告诉我们究竟是哪几份材料在两种方式下有不同表现。若要分析某种版式、主题或指令变化的影响，需要回看对应记录。分布保留了整体形状，同时也压缩了逐轮身份，这是它有用的地方，也是它需要与原记录配合的原因。

二、概率质量函数：把概率分配到离散取值上

对于X这样的离散随机变量，可以给每个取值指定一个概率，记作：

这叫概率质量函数。这里的“质量”可以理解为分配在某个离散取值上的概率份额。各项不能为负，把全部取值的概率加起来应当等于1。NIST统计手册：离散分布与概率质量函数

例如，一张合法的概率表可以把0、1、2、3、4的概率分别写成0、0.2、0.6、0.2、0。它们加起来是1，表示模型中的一次结果会落在这些取值之一。取值为2处的0.6，表示X恰好等于2的概率。

但这张概率表从哪里来，仍然需要说明。刚才方式甲的相对频数确实也是这些数；把相对频数放在一起，可以形成经验分布，记作：

n是观察总轮数，n_x是其中X等于x的轮数。上方的小帽子提醒我们，这里使用的是从数据得到的分布表达。在方式甲中，n等于20，n_2等于12，所以在2处的经验份额是0.6。

如果我们定义一项新试验，从方式甲已经固定的二十条记录中等可能抽一条，那么这张经验表就是该抽取试验的精确概率分布。若把它用作未来生成的模型，它则是一个需要检验和更新的经验近似。数值可以相同，但对应的试验和依据不同。

读概率表时，先检查横轴到底是什么。X是可用题数，所以0.6指“恰好两道可用”这个结果的份额，不是单独某一道题有六成正确，也不是整轮四道全对有六成概率。

还要检查行与行是否互相排斥、是否覆盖完整范围。X等于1和X等于2不能在同一轮同时发生，因此可以作为两行相加。若表里写的是“至少一道可用”和“至少两道可用”，两行便有重叠，不能要求把它们的概率直接加成1。

缺失的取值也需要正确处理。本案例X最多为4，所以表里列到4就覆盖了定义范围。若研究的是不限次数的重试数量，只列0到4而没有说明更大值怎样处理，就可能漏掉剩余概率。漂亮的表格并不自动完整。

概率可以由明确机制给定，也可以由数据估计。理解分布并不等于要求每项概率都事先精确已知。很多时候，我们先用一张清楚的经验表表达目前所知，再随着材料积累修订，这比用一个没有出处的高精度百分数更容易判断。

三、累积分布：把所有“不超过某值”的概率加起来

概率质量函数适合回答“恰好是多少”。实际任务更常问“至少两道”“不超过一道”“两到三道之间”。这时需要把相关取值的概率合起来。

在方式甲的经验分布中，至少两道的份额为：

方式乙对应为0.20+0+0.40，等于0.60。帽子表示这里计算的是经验分布中的概率份额；直接读成本批比例也可以。

为了方便反复回答范围问题，可以定义累积分布函数：

它把不超过t的全部概率累积起来，而不是只看X恰好等于t。这个定义既能用于离散变量，也能用于连续变量。NIST统计手册：累积分布函数

对两种方式的经验分布，累积结果如下：

阈值越往右，纳入的结果只会增加，不会减少，所以累积分布不能往下走。所有结果都已纳入后，累积值达到1；在最小可能结果左侧，则为0。

离散变量的累积图呈台阶状。例如，方式甲在2处从0.2跳到0.8，增加的0.6正是X等于2的份额。2与3之间没有别的可用题数，累积值保持0.8；到3处才再次跳动。

这帮助我们理解小数阈值。X是整数，X不超过2.5与X不超过2包含同样的结果，所以经验累积值相同。图像平直的那一段并不表示没有定义，而是表示这段区间没有新增概率质量。

图的上半部分显示概率质量集中在哪里，下半部分显示向右累计了多少。二者表达同一份数据的不同方面，不能把累积高度当成某个单点的份额。

范围计算尤其要看端点。由于X为整数：

前者保留X等于2，后者把它排除。对方式甲，二者在经验分布中分别为0.8与0.2，差别很大。若把“至少两道”误写成“超过两道”，会让同一份资料支持完全不同的工作判断。

类似地，两到三道都包括在内的份额，可以算F(3)减F(1)。我们从不超过三道的范围里去掉不超过一道，剩下的正好是两道和三道。这比只背减哪个公式更容易迁移到新问题。

四、分位数：反过来寻找累计到某个比例的位置

累积分布给定一个数值，问左侧已经累积多少。分位数反过来：给定一个累计比例，问需要走到哪个数值。

本章采用这样的约定：对于0与1之间的比例α，α分位数取使累计概率达到或超过α的最小位置。可以写为：

inf在这里表示这个集合的下确界；在当前有限取值表中，直接找第一个达到要求的取值即可。不必先熟练掌握这个符号，才能按表查找。

例如，寻找方式甲经验分布的80%分位数。走到1时只有20%，走到2时达到80%，所以答案是2。方式乙走到2时只有60%，走到3仍然60%，直到4才达到100%，因此按本章约定，80%分位数是4。

为什么方式乙没有刚好对应80%的累计值？因为离散分布会跳跃。4这个位置一次纳入40%的份额，把累计值从60%直接推到100%。分位数可以表示第一次越过某比例的位置，不要求该处累计值恰好等于这个比例。

也因此，不能把“方式乙的80%分位数为4”读成“八成轮次至少得到四道题”。本批恰好四道的比例只有40%。分位数谈的是从较小值向较大值累计到哪里，与“至少取得某数量”是不同方向的问题。

在数据软件中，样本分位数还存在其他约定，有些会在相邻观测值之间插值。R的官方文档就区分了多种算法，其中一种是经验分布的逆。R官方文档：样本分位数的不同约定

这不要求使用前先研究所有算法。遇到两份报告的分位数略有不同，先确认样本、缺失处理和计算约定即可。本章的离散计算均采用上面明确的定义，不在例子中途换算法。

分位数经常适合表达时间承诺。例如“九成任务在多少秒内结束”，是从比例寻找时长的位置。但来自有限记录的分位数仍只是相应记录的描述或估计，不自动成为以后每一批都满足的交付保证。尤其靠近分布边缘时，少数记录就可能影响位置。

五、概率密度：连续分布中的概率要看面积

接下来换一个独立的数学例子。假设某项资料处理的完整耗时T在8秒到18秒之间，采用均匀分布模型。这里没有观察截止，也没有未返回状态；这个分布是为讲解设置的假设，不是由前面二十轮题目生成记录估计出来的。

“均匀”的含义是，在规定区间内，长度相同的时间段具有相同概率。对于区间[a，b]上的均匀分布，其密度为1除以区间长度。OpenStax《统计学导论》：均匀分布

我们的区间长度是十秒，因此密度写为：

f_T(t)不是“T恰好等于t的概率”。它表达这一位置附近的概率在单位长度上怎样分布。区间概率由相应面积给出：

积分在这里计算的是曲线下面积。对于平直的密度图，不用复杂运算，只需底乘高。例如10秒到13秒之间的概率为：

全部区间面积是十乘0.1，等于1。区间越宽，在这项均匀假设下包含的概率越多；同样三秒长的区间，只要完全位于8到18之间，概率就一样。

若只问T恰好等于13，在这个连续模型中单个点没有宽度，概率为零。这不意味着实际测量永远不会显示13.0秒。显示值有记录精度，可能把一个小区间内的真实时长都记成13.0。连续模型的精确点与仪器显示的读数，需要按测量方式连接。

同时，密度值可以超过1，因为约束的是总面积为1，而不是每一处高度不超过1。NIST统计手册：连续密度与概率面积

不用另造一个极端例子，换时间单位就能看到。令M等于T除以60，也就是把同一耗时改用分钟表示。它落在8/60到18/60分钟之间，区间长度为1/6分钟。要使面积仍然为1，区间内密度就变为6，单位是每分钟。

10秒到13秒对应的分钟区间宽度为3/60，也就是0.05分钟；乘密度6，概率仍然是0.3。结果没有变，密度的数值随着横轴单位改变。这也解释了为什么概率没有时间单位，密度却需要与时间单位配合。

图中两块阴影表示同一个事件，各自面积都是0.3。左图密度为每秒0.1，右图为每分钟6；仅比较两图的高度，会误以为概率发生了变化。

这个例子的累积分布也很直观：8秒以前为0，8到18秒之间为(t−8)/10，18秒及以后为1。因此F_T(13)等于0.5，表示一半概率落在不超过13秒的位置。

把三个量放在一起，就能看清区别：f_T(13)=0.1是密度高度，F_T(13)=0.5是累计概率，P(T=13)=0是精确点的概率。它们都与13有关，但回答三个不同问题。

同样，95%分位数满足从8秒开始的累计长度占总长度的95%，所以为8+10×0.95，即17.5秒。这个值来自均匀模型假设；若真实处理时间并不均匀，就不能只凭最短8秒、最长18秒，继续套用这个答案。

六、直方图：怎样从一批时间记录走向分布形状

连续量的真实数据通常不会整齐地重复在少数几个值上。把每个不同小数分别画一根柱子，图可能过于零碎。直方图会把数值范围分成若干区间，统计每个区间有多少记录。

为此再看另一批独立的虚构记录：小叶完成二十次资料格式转换，全部有完整耗时记录，记为V。下面的分组数据不是上一节均匀模型的样本，也不是前面的题目可用数。

方括号表示包括左端点，圆括号表示不包括右端点。所以恰好10秒的记录放在第二组，恰好20秒放在第三组。本例二十条都在这些区间内，没有40秒及以上的记录。

这里故意把最后一组设得更宽。若希望柱子的面积表达相对频数，就要把相对频数再除以组宽。NIST介绍直方图归一化时，也区分了按记录比例表示高度与按组宽调整、使总面积为1的表示方式。NIST统计手册：直方图与密度归一化

先比较第二组和第三组：它们各有八条记录，都占全批的40%。但第三组跨了二十秒，是第二组的两倍。同样的份额要用更宽的柱子表示，高度就应减半，才能让两根柱子的面积仍然相同。具体计算时，例如第二组占0.40，除以十秒的组宽，得到每秒0.040；第三组的高度则为每秒0.020。表中的除法，正是在把各组的总份额换成单位时间宽度上的平均密度。

不能只因为第三组柱高与第一组相同，就说它们记录一样多；也不能只因为第二组最高，就说二十到四十秒内的总记录更少。高度反映单位宽度上的集中程度，面积才对应这里的总份额。

若只想比较三个类别各有多少条，也可以把三个区间当类别，画等宽条形图并把纵轴标为记录数。那种图可以清楚表达4、8、8，只是它不再用横向宽度表示真实时间跨度。关键是图的几何含义与说明一致。

分组也会丢失信息。只知道二十到四十秒有八条，无法精确知道其中多少在二十五到三十秒。画成一根平柱，是用这个区间的平均密度作概括，不证明区间内部每一秒附近都一样集中。

若要回答更细的时间问题，可以回到原始记录，或者明确增加“组内近似均匀”的建模假设。不能把作图时的平顶形状，悄悄升级成已经由数据验证的事实。

组宽还会影响视觉感受。过宽可能把两个集中区域揉成一个，过窄可能让有限样本的零碎波动显得格外突出。小叶可以查看几种合理分组，并保留原始数据；不用期待存在一张图，能够不作任何取舍地显示所有细节。

七、读分布的形状，也追问形状是怎样形成的

有了分布图，小叶首先可以看结果主要聚在哪里。方式甲的经验份额在2处最高，这个最常见的取值叫众数。方式乙在0和4处并列最高，出现两个集中位置。一个分布可以有一个最常见值，也可以有多个。

“最常见”与“多数”不是同一个要求。一个取值即使比其他每个取值都常见，也未必超过总概率的一半。比如方式乙的0与4各占40%，任何一项单独都没有超过一半。这个词的含义会影响我们怎样口头描述结果。

还可以看结果是否集中在中间、有没有较长的一侧、是否存在明显不同的几个区域。处理时间若多数较短、少数很长，图形可能向较大的时间方向拖出一段；这种方向信息有助于发现值得检查的现象，但具体波动和极端结果会在下一章进一步展开。

同一个中心位置并不保证相同形状。前面的两种方式都平均每轮两道，却对“本轮至少得到两道”与“本轮直接得到四道”给出不同的经验份额。选择哪种表现更有用，需要回到任务，而不是看到某根柱子高就判断整体优劣。

累积图也能显示这种取舍。阈值为1时，方式乙在低端累计40%，甲只有20%；阈值为3时，甲已经累计100%，乙只有60%。两条图线的相对位置发生变化，不能用“乙处处比甲更好”概括这张表。

不过，形状本身还没有解释原因。方式乙的两端集中，可能与材料类别有关，也可能与生成方式的整体变化、共享错误或其他条件有关。仅凭两个峰，不能直接诊断是哪一种机制。

为了看清混合怎样形成，设想下面一种与方式乙总表相容的细分。它是新增的假设性分组，不是原汇总表已经证明的发现：

如果逐条资料确实支持这张细分表，那么总体形状就部分反映了两个不同材料组被混在一起。每组都有自己的集中位置，把它们合并以后出现两端较多、中间较少的结果。

这时，小叶可能考虑分别改进不同材料的处理方式，而不是只给所有任务调整同一个设置。但即便发现了这类关联，也还不能直接证明材料长度就是唯一原因；长材料也可能在主题、格式和难度上同时不同。

如果没有逐条材料信息，这个分组只能作为待核查的解释，不能写进报告当成事实。还存在其他可以产生同一总表的分组方式。分布帮助发现问题，原记录和进一步观察帮助判断问题来自哪里。

因此，读图时可以形成一个自然顺序：先看结果集中在哪里，再看这个形状对任务意味着什么，最后寻找能帮助解释形状的记录。这样既发挥了整体图像的作用，也不会让图像替代具体证据。

八、常见分布是模型家族，名称后面有条件

教科书会介绍很多有名字的分布。名字的价值在于把一组共同结构组织起来，方便计算与交流。看到数据以后，最先需要做的不是挑一个最熟悉的名字，而是判断变量的取值与生成条件是否适合。

1．伯努利分布：一次明确的两种结果

若只关心一个事件发生没有，可以用变量Y记1或0。设发生的概率为p，那么Y等于1的概率为p，等于0的概率为1−p。这种两点分布称为伯努利分布。

例如，小叶可以把“一轮是否至少得到两道可用题”编码成0或1。对方式甲已有记录，1的经验份额是0.8，0的经验份额是0.2。这里的两个状态来自明确的事件定义，不要求整轮实际只有两种细节结果。

原本得到0、1、2、3、4道有五种数量结果；经过“是否至少两道”的规则，0与1归到一边，2、3、4归到另一边。这个压缩适合直接检查一项要求，但会失去三道与四道等细节。选择二元指标，是为了回答特定问题，而不是发现真实世界只剩两种情况。

2．二项分布：固定次数中的成功个数

假设做n次二元试验，每次成功概率都是p，而且各次相互独立；把成功总次数记为Z，便得到二项分布。这些条件包括固定试验次数、相同成功概率以及独立性。OpenStax《统计学导论》：二项试验的条件

先用一个单独的数学模型理解，不把它套在前面的生成数据上。设四次试验相互独立，每次成功概率都是0.5。每次可以记0或1，四次共有十六种状态序列，在这些假设下每种序列概率都是1/16。

成功零次只有0000；成功四次只有1111。成功一次可以出现在四个位置，所以有四种。成功两次共有六种：1100、1010、1001、0110、0101、0011。成功三次也有四种。

因此得到：

这张表比只背分布名更能说明结构：中间的次数较常见，是因为能形成这种次数的序列较多，而不是因为某种抽象力量强迫每四次必须成功两次。

若p不等于0.5，序列也不再全部等可能，但成功k次的每个特定序列都有k次成功和n−k次失败。在独立且同概率的假设下，对应概率为p的k次方乘(1−p)的n−k次方，再乘安排这些成功位置的组合数：

组合数表示从n个位置中选出k个成功位置有多少种办法。这就是二项分布的概率质量函数。NIST统计手册：二项分布公式 当前四次例子不需要先掌握复杂组合题，也能逐个列出并理解这个乘法。

现在回看 AI 生成四道题。四个候选共享同一份材料，可能一起受到某个理解错误影响；重复题只保留一题的规则，也使候选之间的可用性有关联。因此，不能只因为“一轮四题、每题合格或不合格”，就自动断言可用题数服从某个二项分布。

即使两种方式平均都得到两道，也不能由平均数反推出它们必然符合n等于4、p等于0.5的二项模型。那个模型在0与4处各分配1/16，而前面两个经验分布在这些位置明显不同。有限样本出现差异不自动否定模型，但足以提醒我们检查假设与数据，而不是直接贴上名字。

3．均匀分布：相同长度区间的概率相同

前面的8到18秒模型就是连续均匀分布。它的结构很简单，适合练习概率面积和单位变化。但“知道最小值与最大值”并不意味着区间内部均匀。

如果小叶只观察到最短8秒、最长18秒，其他大多数值都聚在9秒附近，那么直接用均匀模型会抹掉这项集中信息。8秒和18秒只是这批记录中的最小、最大值，既没有说明中间各段怎样分布，也不保证下一批仍落在这段范围内。

均匀分布也常用于人为规定的随机选择。例如程序按规则在一段范围内等密度抽取参数，这是一个明确的生成机制。它与从实际记录里猜一个未知时间分布不同。确定采用何种随机机制时可以直接规定，描述真实现象时则需要依据。

4．正态分布：熟悉的钟形曲线，也需要检查适用性

正态分布的密度围绕中心对称，中心参数μ与尺度参数σ共同决定位置与展开程度。NIST将它作为常用分布介绍，同时强调应用中的分布假设需要检查。NIST统计手册：正态分布

当前不必先记住完整密度公式，先认识它的形状与范围。它是连续分布，定义在整个实数轴上。可用题数只有五个整数取值，不能直接把这五个值当作连续正态量；严格非负的时间也需要考虑正态近似是否给负值分配了不可忽略的概率。

这不意味着正态近似永远不能用于计数或时间，而是近似必须适合当前范围和用途。更不能说“数据足够多，原始数据就会自动变成正态”。关于某些汇总量在一定条件下的近似结果，与原始观测本身的分布是不同问题。

学习这些模型时，最值得保留的顺序是：先确认量的含义与取值，再看产生它的过程，最后选择适合的模型与计算方法。分布名称帮助压缩共同结构，不能替代前面的判断。

九、概率向量与上下文：一组数要说明对应哪些选择

分布不一定画成一条曲线。对于有限个类别，它可以是一组概率。例如，小叶给一个教学写作程序规定三种开头方式：先下定义、先举案例、先提出问题。程序每次正式写稿前，只从这三种方式中选一种作为开头安排。

为了尝试不同写法，小叶先设定三种选择的权重为6、3、1，并规定程序按权重随机选择。把每项除以权重总和10，就得到概率向量：

向量中的位置依次对应定义、案例、问题。它不是三项互不相关的评分，而是一项选择中三个互斥且完整候选的概率份额。程序选中哪一项以后，后续段落仍然可以结合其他写法；这里的分类对象只是事先安排的开头方式。

若小叶想在另一次尝试中更多使用案例，可以把权重改为2、6、2，对应向量变成(0.2，0.6，0.2)。候选名称没有改变，概率怎样分配发生了改变。这个例子说明，人可以主动规定探索策略，而不只是被动记录结果。

这些数是小叶人为设置的规则，不是从真实语言模型里读出的内部概率，也不证明某种开头更有效。若要评价哪种方式适合学生，还需要看实际讲解与学习反馈。

对非负权重w_i，且所有权重之和大于零，按权重抽取的概率一般写为：

分母把候选范围中的全部权重加起来。若遗漏候选，得到的就只是保留下来部分中的相对分配；若所有权重都是零，这个公式也无法定义抽取规则。

但是，看到一组“相关度分数”并把它们除以总和，并不等于恢复了真实正确率。这样可以人为构造一个抽取分布，不能仅凭归一化就声称某段资料有六成概率正确。归一化解决数值如何凑成完整份额，真实性判断仍要有自己的证据。

真实文本生成中，也会涉及随上下文变化的候选分布。自回归生成会根据初始输入及此前生成的内容，形成下一步的条件分布；Hugging Face对生成方法的讲解以这样的序列关系为基础。Hugging Face：上下文与下一步生成分布

这意味着，同一候选在不同上下文里得到的概率可能不同。明确讨论对象、提供相关材料、说明有效版本，都可能改变接下来的生成条件。不过，具体怎样改变、是否改善任务，需要结合结果判断；不能从“上下文影响分布”直接跳到“多加文字必然更好”。

还需要分清，我们想观察的是下一步词元、完整答案类型，还是整项任务完成情况。它们可以各有自己的分布，却不是同一个随机变量。某个词元很容易被选出，不直接等于整份答案很容易正确；整份答案格式稳定，也不代表任务的时间分布没有变化。

学习概率向量的意义，正在于能把这些不同层次说清楚。看到一组百分比时，先找对应对象；打算改变任务时，再考虑哪些条件可能影响这些份额。

十、让分布帮助行动，而不是多做一张装饰图

回到小叶的自测题任务。他当前希望每份材料至少有两道可用题。相比只报告平均两道，经验分布给出了更贴近目标的事实：方式甲二十轮中有十六轮达到，方式乙有十二轮达到。

他可以据此先继续尝试方式甲，并重点查看没达到要求的四轮。但这是一项基于当前材料和目标的选择，不是证明甲在任何任务里都优于乙。如果下一项任务改为从材料中挑选可以一次形成四题的少数案例，方式乙的另一部分表现就变得相关。

现有题数分布还没有包含生成时间、核查投入和题目对学习的实际帮助。若这些方面会改变选择，可以增加相应观察。我们无需把它们全压成一个综合分数，也不需要因为尚未覆盖所有维度就拒绝开始当前工作。

实际让 AI 整理这类数据时，可以给出一个明确任务：“保留每轮编号与可用题数，按0到4汇总轮数和相对频数，检查合计；再列出累计份额，以及至少两题、至少三题和四题全可用的比例。画图时标明这是本批经验分布，并保留零产出记录。”

这样的要求不是为了追求报告形式，而是把容易改变解释的地方固定下来。漏掉零产出轮次会改变分母；把每道题当作一轮会改变试验单位；把累计份额画成单点概率会改变图的含义。定义清楚以后，计算与制图可以交给工具完成。

若要画时间直方图，还应说明单位、分组边界以及纵轴采用次数、比例还是密度。想比较两种方式时，应尽量使用可比较的坐标和分组；否则一张图用很宽的区间，另一张用很窄的区间，视觉差异可能主要来自画法。

收到图以后，小叶可以选几个能直接核对的问题：所有轮数有没有加回原总数？分布份额是否合计为1？累计图有没有下降？某个门槛的读数能否在原表中数出来？对于密度图，总面积与相应区间面积是否匹配？

这些检查不需要把整套统计课程学完。它们来自本章几个基本关系，能够立即帮助发现汇总和展示中的明显问题。至于哪种模型能预测未来、数据多少才足够、差异是否稳定，后面再逐步展开。

更有价值的成果，是一份能够不断更新的分布记录。新材料进入、处理方式改变、评价规则修订时，知道哪些数据可以合并，哪些应该分别看。分布便成为对工作表现的持续认识，而不只是一次报告中的图形。

十一、练习与参考分析

练习一：两份平均数相同的记录，为什么还需要分布

方式甲在0、1、2、3、4道处的轮数为0、4、12、4、0，方式乙为8、0、4、0、8。计算两者每轮平均可用题数，以及至少两道、至少三道、四道全可用的批次比例。若小叶想为每份材料至少准备两道题，应怎样利用这些数？

**参考分析：**两种方式各产生四十道可用题，除以二十轮都为2。甲至少两道为16/20=80%，至少三道为4/20=20%，四道全可用为0。乙对应为12/20=60%、8/20=40%、8/20=40%。

若当前首要要求是每份至少两道，甲在这批记录中达到要求的覆盖较多，可以作为先行尝试的依据；若关注一次取得四道，乙有不同的优势。还需要结合核查投入等相关条件，不能只把均值相同解释为所有使用效果相同。这些比例描述当前二十轮，不是下一轮的确定承诺。

练习二：累积概率、端点与分位数

方式甲的经验累积值在1、2、3处分别为0.2、0.8、1。求至少两道、超过两道、两到三道都包括的份额。按本章约定，方式乙的80%分位数为4，是否说明八成轮次至少有四道可用？

**参考分析：**至少两道保留2，所以为1−F(1)=0.8；超过两道排除2，所以为1−F(2)=0.2；两到三道为F(3)−F(1)=0.8。三个问题看起来接近，包含的结果不同。

乙的累计份额到3仍为0.6，到4跳为1，因此4是第一个累计达到或超过0.8的位置。它并不表示“至少四道”的比例为0.8。乙本批四道全可用的份额是0.4。查分位数要同时保留累计方向与采用的计算约定。

练习三：密度高度能否超过1

在T均匀分布于8到18秒的独立模型中，求10到13秒的概率。再把时间改为分钟，写出密度高度并重新计算同一个事件的概率。最后解释f_T(13)、F_T(13)和P(T=13)的区别。

**参考分析：**秒制区间宽十秒，密度为每秒0.1；所求区间宽三秒，概率为0.3。分钟制总宽为1/6分钟，密度为每分钟6；所求区间宽为3/60分钟，面积仍为6×3/60=0.3。

f_T(13)=0.1是密度高度，F_T(13)=0.5是不超过13秒的累计概率，P(T=13)=0是连续模型中精确点的概率。密度高度可以超过1，概率仍不能超过1。换单位改变数值尺度，没有改变这个事件本身。

练习四：宽柱与窄柱怎样比较

一批二十条转换耗时记录中，[0,10)、[10,20)、[20,40)分别有4、8、8条。若用面积表示记录比例，三根柱子应多高？只凭这张分组表，能否知道25到30秒有多少条？

**参考分析：**三组比例是0.2、0.4、0.4，分别除以宽度10、10、20，得到每秒0.02、0.04、0.02。第二组和第三组面积相同，第三组更宽，因此高度更低。

25到30秒位于第三组内部。只知道整组八条，无法知道这个子区间的精确条数；它可以没有记录，也可以包含这八条。如果另加组内均匀的近似，才会按5/20的长度比例给第三组份额0.4分配出0.1，也就是全批10%的模型估计。这项估计不是分组表直接提供的事实。

练习五：有四道题，就一定是二项分布吗

某分析者看到每轮四道候选题、平均两道可用，便断言可用题数服从n=4、p=0.5的二项分布。指出这一步缺少的依据。在另一个明确满足四次独立、每次成功概率0.5的模型里，恰好成功两次和四次全成功的概率各是多少？

**参考分析：**固定四道与二元核查结果尚不够，还要判断各题成功概率是否相同、是否可近似独立，以及概率如何得到。同一材料的理解错误、候选重复或共享生成条件，都可能使题目结果有关联。平均数一个量不能唯一确定完整分布。

在题目另行规定的独立同概率模型里，十六种序列等可能，恰好两次成功有六种，因此概率为6/16=0.375；四次全成功只有1111，概率为1/16=0.0625。两个答案依赖明确的模型条件，不能倒过来当作原生成过程已经满足条件的证据。

练习六：删除零产出后，方式乙是否突然变好了

有人删除方式乙八条X等于0的记录，只保留四条X等于2和八条X等于4，然后报告：“方式乙平均每轮约3.33道，明显好于甲的两道。”计算删除后的比例与均值，并说明这份报告改变了什么。

**参考分析：**剩余十二条中，X等于2的份额为4/12=1/3，等于4为8/12=2/3；总可用题仍是四十道，除以十二得到10/3，约3.33。

计算本身对应“已经有可用题的轮次中，平均取得多少”的问题。它从观察对象中移除了八条零产出，不能继续冒充所有首次生成轮次的表现，也不能与甲包含全部轮次的均值直接比较。

如果小叶确实要研究有产出之后的题量，这个条件下的分布可以有用；同时应保留有产出的批次比例12/20，并说明筛选条件。合理使用局部分布，与通过删掉不理想结果美化整体表现，区别就在于有没有保留真实问题和完整条件。