期望、波动与极端结果

小叶准备把课程笔记整理成一组复习卡。AI 可以起草问题、组织答案、补充例子，但卡片交到同学手上以前，还要核对概念、修改错误和检查是否遗漏重点。他试着比较两种制作方式，最先想到的问题很自然：“哪一种平均比较快？”

平均耗时当然有用。可如果一种方式每次都用五六分钟，另一种方式大多数时候很快、偶尔却把整段空闲时间占满，单独报一个平均数就会遗漏很多东西。小叶平时可以中断任务去吃饭，临近课堂展示时却不能让全组同学等着；同一种耗时分布，在这两种情况下可能对应不同的选择。

这一章要把“平均”“波动”和“少数特别长的结果”联系起来。我们会从一张很小的概率表出发，算出期望和方差，再看完成期限、连续任务、共同故障和备用安排如何改变实际判断。这里的数学不是为了给日常操作增加仪式，而是让我们能看见：一个看似简单的平均数，到底保留了什么，又把什么压缩掉了。

一、先说清楚，究竟在平均什么

1．同样叫耗时，可以测量不同的东西

我们把一次任务定义为：从小叶开始处理一页课程笔记，到一张符合要求的复习卡完成核验、可以交付。用随机变量 $T$ 表示这个过程经过的分钟数。

它包括生成等待，也包括阅读、修改、返工和最后检查。这里记录的是完整交付的经过时间。它与“模型生成用了几秒”不是同一项指标，也不自动等于“小叶实际动手的劳动时间”：模型等待期间，小叶可能有机会处理别的事情。

这个区别会影响比较。假如一种方式两秒就生成初稿，但核查要花很久；另一种方式先组织来源和问题，生成较慢，却很少返工，那么只看生成速度就没有回答我们现在提出的问题。

我们先把任务范围固定：同样大小的一页笔记，同样的卡片用途，同样的交付标准。两种方式都最终产出合格卡片。接着，为了把推理看清楚，给出一个完全虚构的教学模型：

甲的两种耗时相差不大。乙大多数时候很顺利，少数时候遇到需要重新查材料、改写答案的分支，完整交付要三十三分钟。这些概率是本章给定的模型条件，不是对某个真实 AI 产品的测量结果。我们暂时也不追究困难分支究竟由哪一种输入触发，先研究这张表意味着什么。

2．期望是按概率加权的平均

如果 $T$ 的可能取值是 $t_1,t_2,\dots ,t_k$，对应概率是 $p_1,p_2,\dots ,p_k$，那么：

$E[T]$ 读作“$T$ 的期望”。乘以概率的意思是：一种结果在整体中所占的分量，应当与它出现的权重相适应。不能因为表格写了两行，就默认两行各占一半。离散随机变量的期望与标准差，可以在 OpenStax 的相应教材章节 中看到正式定义。

甲的期望是：

乙的期望也是：

两者确实有相同的期望耗时。可是，乙不能算成 $(3+33)/2=18$ 分钟，因为这个算法悄悄把两种结果改成了等概率。

可以想象一个按模型比例组织的十次演示：乙有九次三分钟，一次三十三分钟，总计六十分钟。这能帮助我们理解加权，但不是说真实进行十次，就一定恰好出现一次困难分支。概率权重是一回事，某一批实际出现多少次是另一回事。

3．六分钟未必是任何一次真正发生的结果

在这个模型中，甲只有五分钟和七分钟；乙只有三分钟和三十三分钟。两种方式都不会恰好用六分钟。期望位于结果之间，并不妨碍它成为有效的汇总量。

这件事有一个很实用的提醒。如果有人说“这项任务的平均耗时是六分钟”，我们不能立刻翻译成“你下一次大概六分钟结束”。对于乙，最常见的结果是三分钟，而真正拖延安排的是那一成三十三分钟的结果。平均数把两部分合到一起，却没有保留它们各自出现的位置。

还可以往下算一步。乙的困难分支只占任务发生概率的百分之十，却贡献了 $33\times 0.1=3.3$ 分钟的期望耗时。它在总期望六分钟中占：

这里的百分之五十五不是“任务失败的概率”，而是“困难分支在期望总耗时中所占的份额”。占少数的任务，可以消耗超过一半的预期时间。以后小叶想改进流程时，这个信息可能比“九成任务已经很快”更有指导意义。

图中两条虚线都在六分钟的位置。甲的概率集中在虚线附近；乙的大部分概率在左边，少量概率远在右边。只把虚线的位置告诉别人，两种工作体验之间的差别就消失了。

二、期望怎样变化：可以直接相加，不能随意穿过所有运算

1．固定增加两分钟，平均也增加两分钟

现在小叶决定，在每张卡片完成以后都花两分钟排版，其他流程不变。新耗时记为 $U=T+2$，于是：

每一种结果都向右移动两分钟，平均自然也移动两分钟。如果把记录单位从分钟改成秒，令 $V=60T$，就得到：

一般地，若 $a,b$ 是固定数，有 $E[aT+b]=aE[T]+b$。这里用到期望的线性性质。对有限取值的例子，直接把加权求和展开就能验证；对于更一般的随机变量，需要期望存在等相应条件。Statlect 的期望条目 介绍了线性性质和随机变量函数的期望。

我们本章的取值都有限，不需要为这些存在性问题额外补一套理论。先掌握它告诉我们的具体关系：固定增加的工作量、单位换算、若干项可相加的工作量，可以按照相应的线性规则汇总。

2．超过十分钟的延误，不能用平均耗时直接代替

假设小叶只有十分钟，之后要把卡片拿去做课堂练习。我们暂时只计算超过十分钟的部分，定义延误量：

符号 $\max$ 表示取两个数中较大的一个。三分钟结束，延误为零；七分钟结束，也为零；三十三分钟结束，延误为二十三分钟。

对甲，所有结果都不超过十分钟，所以期望延误为零。对乙：

可是，如果先把乙的耗时替换成平均六分钟，再算延误，就会得到：

两个结果不一样。原因不是哪个平均数失效了，而是“超过门槛才产生延误”改变了计算结构。三分钟比十分钟早七分钟，这七分钟不会在我们的定义中变成负延误，也不能拿来抵消另一张卡片晚二十三分钟的延误。

这种关系经常出现在实际任务中。文件只要超过提交时间，就不能参加当次评审；展示材料在开场前准备好和开场后准备好，价值可能完全不同；把十张图各做出一部分，也不等于有十张可直接展示的图。对这类结果，先平均再判断是否达标，可能遗漏真正关心的东西。

更稳妥的计算顺序是：先对每一种可能结果计算我们关心的量，再按概率加权。我们关心延误，就先把耗时变成延误；关心能否按时完成，就先把结果变成“按时”或“不按时”。

图中折线表示不同耗时对应的延误。乙的两个实际结果在折线上，但“平均耗时六分钟、平均延误二点三分钟”组成的点不在折线上。这个点用图形说明了：分别求两个量的平均，不等于把一个量的平均代入函数。

3．由此理解“平均表现不错，实际安排却不顺”

如果小叶只在自己的空闲时间慢慢积累卡片，那么平均耗时六分钟可能很有参考价值。如果他负责的是十分钟后开始的课堂环节，同样的平均值就不够了。他需要知道超过十分钟的概率，以及一旦超过，通常会拖到什么程度。

这不是要求每次都列概率表。练习这些计算，是为了让我们以后遇到“平均效率提升了”这样的说法时，能够自然补上一句：这项效率究竟对应哪一种实际结果？是否存在一个重要门槛，让平均值无法单独说明问题？

三、方差：把偏离平均的程度计算出来

1．直接平均偏差，为什么得不到波动大小

甲相对平均六分钟的偏差是负一分钟和正一分钟。乙的偏差是负三分钟和正二十七分钟。我们已经能看出乙的结果散得更开。

但如果直接把偏差按概率平均，甲得到：

乙也得到：

这不是巧合。以期望为中心计算的有正有负的偏差，会按权重抵消。要度量离散程度，就需要一种不让两边直接抵消的办法。取绝对值是一种办法，平方是另一种常用办法。

方差采用平方，定义为：

$\mu$ 是希腊字母，常用来表示总体或模型的均值。整个公式说的是：先算每个结果离平均有多远，再平方，最后按概率平均。Statlect 的方差条目 给出了这个定义及其基本性质。

2．把两种方式逐项展开

所以：

这里的单位都是分钟的平方。乙的方差是甲的八十一倍，但这句话不等于“乙要多花八十一倍时间”。两者的期望耗时依然都是六分钟。方差比较的是平方偏差的平均，描述的是另一种性质。

特别看乙的困难分支：它的方差贡献是七十二点九，占总方差八十一的百分之九十。它只有百分之十的概率，却因为离中心很远，在平方偏差中获得很大的分量。

这也解释了方差的一种特点：它对距离中心很远的结果比较敏感。敏感有时正合我们的需要，例如长时间返工确实会影响安排；有时我们还想知道更典型的离散程度，就可以补看中位数、四分位距等指标。不同度量保留的信息不同，不必把方差理解成唯一合法的“稳定性”。

3．为什么经常还要开平方

把方差开平方，就得到标准差：

甲的标准差是一分钟，乙是九分钟。标准差恢复到了原变量的单位，因此比“一平方分钟、八十一平方分钟”更容易和实际耗时放在一起理解。NIST 的离散程度说明 比较了标准差、四分位距等度量，并说明了单位方面的区别。

标准差可以理解为一种偏离中心的尺度，但不能直接解释成“平均每次多花九分钟”，也不是“一定在平均上下九分钟以内”。对乙来说，三十三分钟这个结果距离均值二十七分钟，明显超过一个标准差，却确实有百分之十的概率。

有同学可能熟悉正态分布中“均值上下一个标准差”的覆盖比例。那是特定分布下的关系，不能看到任何平均数和标准差就搬过来。乙只有两个取值，把 $6\pm 9$ 写成负三到十五分钟，既没有说明会出现负耗时，也没有把所有可能结果包住。

4．两个方便但需要理解的计算性质

方差还可以写成：

甲的平方期望为三十七，减去六的平方，得到一；乙的平方期望为一百一十七，减去三十六，得到八十一。它与前面的逐项算法一致。注意，$E[T^2]$ 和 $(E[T]{)}^2$ 正是两个不同的量，不能把方差误写成零。

再看固定增加两分钟的排版。原来每个结果离平均有多远，增加以后仍然有多远，所以方差不变。单位改成秒时，每个偏差放大六十倍，平方偏差就放大三千六百倍，而标准差放大六十倍。一般形式是：

这条关系不只用来考试换单位。阅读性能报告时，如果一种数据用毫秒、另一种用秒，方差的数字会显得相差极大。先统一单位，比较才有意义；标准差与均值的单位一致，也不能因此忘记它们表示不同的事情。

四、平均和标准差之外，还要看任务关心的位置

1．十分钟与五分钟，会让比较结果反过来

假设小叶要求“一张卡片在十分钟内完成”，这里“内”包括恰好十分钟。那么甲的按时概率是一，乙是零点九。甲在这个模型里更符合这个期限。

但如果小叶只剩五分钟，情况就变了。甲只有五分钟这一种结果能赶上，概率为零点五；乙的三分钟结果能赶上，概率为零点九。此时选择乙，赶上的概率反而更高。

这张表说明，方差较小不等于在任何情境下都更好。甲的结果集中，但如果小叶需要的是极快完成一次，它未必更合适。反过来，乙多数时候快，也不能推出它适合所有有截止时间的任务。偏好哪一种分布，需要和实际用途一起判断。

2．分位数回答“要留出多少时间，才能覆盖某一比例”

上一章介绍过分位数。这里沿用累积分布第一次达到或超过指定比例时的位置：百分之九十五分位数，是至少覆盖百分之九十五概率的最小耗时门槛。

乙在三分钟处，累计概率已经到百分之九十，但仍然没到百分之九十五。要达到后者，就必须走到三十三分钟。因此它的九十分位数是三分钟，九十五分位数是三十三分钟。这不是计算出错，而是离散分布的概率在某个位置突然增加。

乙的中位数也是三分钟。中位数三分钟和平均六分钟放在一起，能让我们察觉右侧较长耗时的影响。不过只凭这两个数字，还原不出完整分布。真正需要研究延误时，最好进一步查看相关分位数、超过期限的比例以及长耗时记录。

在我们的模型里，三十三分钟恰好也是乙的最大值。但“模型把取值限定在三十三分钟以内”和“实际测了二十次，最长是三十三分钟”有不同含义。后一句没有排除下一次出现更长结果。实际报告中的最大观测值，是已见记录的边界，不是自动得到的未来上限。

3．如何理解这里的“极端”

本章把乙的三十三分钟称为较极端的结果，是相对于三分钟的常见结果，以及小叶十分钟的安排而言。它并不需要是灾难性事件。一个任务中看似不大的额外等待，放到紧密衔接的课堂活动里，就可能有明显影响。

也不要因为右边有一个较长分支，就把它当成已经识别了某种特殊分布。本章的两个取值都是有限的，我们只是用最简单的模型，让少量长耗时结果的影响清楚地显现出来。理解这种影响，不需要先学完各种复杂分布的名称。

实际观察中，极端结果也不只可能表现为时间长。小叶批量整理材料时，可能遇到少数文件需要大量人工修复；做资料核查时，可能发现某一条关键引用牵动整篇论证的修改。这时可以先选定要描述的数值，例如返工分钟数或重做页面数，再用同样的思路研究其平均、波动和较大结果。

五、概率模型的期望，与一批记录的平均

1．一批数据可以碰巧等于模型均值，也可以相差很大

到目前为止，我们是先给定模型，再算出六分钟。实际使用时，小叶通常先拿到一串记录，然后才估计未来大致会怎样。这两个方向要区分开。

现在另给一批虚构的二十次观测：十八次三分钟，两次三十三分钟。它们的样本平均为：

$\bar{t}$ 读作“$t$ 的样本平均”。这次它恰好和前面模型的期望相等，但这不说明拿到任何二十次记录都会如此。

例如另一段记录依次为三、三、三、三十三分钟。前三次的平均是三分钟，第四次完成以后，四次平均变成：

小叶没有修改流程，平均值也可能突然升高。一个长分支进入较小样本，就会明显改变结果。反过来，连续几次很快，也不足以证明困难分支已经消失。

如果在前面那批二十次记录后，再增加一次三十三分钟，新的总耗时是一百五十三分钟，平均为 $153/21\approx 7.286$ 分钟。新增记录越多，单条记录在平均中的权重通常越小，但一条记录与原平均相差多少也重要。不能只看样本数增加，就认定平均一定会更接近真实值。

2．多做一些记录，究竟能带来什么

在独立、同分布且期望存在等适当条件下，随着记录数量增加，样本平均会趋近模型期望。这是大数定律的一种常见情形。“同分布”表示各次遵循同一概率规律；“独立”大致表示前一次结果不会为后一次额外提供概率上的信息。大数定律有不同版本和条件，可参见 Statlect 的大数定律讲解。

它给我们的信心在于：合适的重复观测能够帮助认识整体平均。它没有要求每多测一次都更接近期望，也没有保证下一次就接近平均。乙即使已经运行很多次，单次仍可能是三分钟或三十三分钟。

这对 AI 使用记录有一个直接启发。若小叶前十次处理清晰短笔记，后十次换成模糊长笔记，或者中途改了流程，就要考虑前后是否仍属于同一种工作条件。把记录放进同一张表很容易，但“都在一张表里”不能代替概率条件。

当然，现实不必完全满足某个最简单的模型，数据才有用。分开记录材料类型、流程版本和工作阶段，就能让平均值更容易解释。关键是知道自己正在平均哪些任务，而不是看到一个软件算出的平均数就认为它已经代表了所有用途。

3．描述这二十次，与估计未来波动，分母可能不同

这二十次记录的均值为六，平方偏差总和为：

如果我们只想描述这二十个已知数，按每条记录占二十分之一的权重计算，方差就是 $1620/20=81$。

在统计教材和软件中，还常见另一种样本方差：

这里 $n=20$，所以 $s^2=1620/19\approx 85.263$，样本标准差约为九点二三四分钟。这个样本方差八十五点二六三与前面的八十一不同，不一定是谁算错了，而可能是采用了不同定义。常用的 $n-1$ 分母公式也见于 NIST 的离散程度说明。

为什么会有这个调整？我们用同一批数据先找出了样本平均，再用它衡量偏差。这个中心是贴着本批数据算出来的，围绕它计算平方偏差并除以 $n$，在估计总体方差时会有向下偏小的倾向。Statlect 对未调整样本方差的说明 解释了使用样本平均带来的这一影响。

在独立同分布、总体方差有限的条件下，使用 $n-1$ 可以得到总体方差的无偏估计，相关条件见 Statlect 的样本方差条目。这里“无偏”指重复抽样后的估计平均等于真实方差，不是说这一次一定估得准确。

这个性质属于样本方差；把它开平方得到样本标准差以后，不能顺手把无偏性质也照搬过去。现阶段记住两种分母各自在做什么就够了，后面抽样与估计一章会进一步讨论估计的含义。

4．特别长的记录，要调查原因，不能为了好看直接删

假设小叶看到两条三十三分钟记录，觉得它们“太不正常”，于是删掉。剩下十八条都是三分钟，平均变成三，方差变成零。表格更漂亮了，但它已经不再描述原来的完整工作过程。

如果三十三分钟来自真实返工，删掉恰恰会删去最需要管理的部分。如果来自单位录错、计时器未停止或者与任务无关的中断，就应该结合原始情况纠正或重新界定测量范围，并留下理由。

两种处理都可以合理，区别在于是否有具体依据。NIST 在异常值检查说明 中提醒，异常值可能是错误，也可能包含真实且有价值的信息，不能仅因为它与其他记录相差大就自动删除。

小叶甚至可以同时保留两个结果：完整交付经过时间，以及剔除已确认私人中断后的任务活动时间。只要名称、口径和用途清楚，这比强行让一个平均数兼任所有角色更有帮助。

六、十张卡片的总耗时：期望相加，不要求相互独立

1．先把相加关系写对

小叶现在需要制作十张卡片。他一张完成后才开始下一张，中间没有额外未计入的间隔，十张都做完。令第 $i$ 张耗时为 $T_i$，整批耗时为：

若每张采用乙，且每张的期望耗时都是六分钟，那么：

这里不需要十次相互独立。期望的相加性质，比许多人想象的适用范围更广。各次可能一起变慢，但只要各自的期望和总量的相加定义成立，六十分钟这个期望仍然成立。

不过，它没有承诺“一小时一定做完”，也没有告诉我们总耗时会围绕一小时波动多少。后两个问题涉及结果怎样组合，单次平均不足以回答。

2．并行安排时，别把不同时间混成一个数

如果小叶同时启动十个任务，再逐个核查，单任务经过时间之和依然可以计算，但它一般不等于从整批开始到全部完成的时钟时间。多个任务的等待可能重叠，人工核查又可能排队。

例如两件任务从同一时刻开始，分别六分钟和八分钟结束。在没有后续步骤的简化安排中，全部完成需要八分钟，两项经过时间之和却是十四分钟。两个数字都可以有意义，回答的问题不同。

因此，“十项平均每项六分钟”可以支持某种总量估算，却不能直接替代并行系统的日程计算。后面软件工程章节会继续讨论流程与依赖；这里先把概率变量的计量对象保持清楚。数学相加没有错，错常常出在把加出来的量换了名字。

七、少数长分支放进一批任务，发生概率会怎样

1．先研究十次相互独立的模型

现在加上一个明确条件：十张卡片的长短分支相互独立，每张遇到三十三分钟分支的概率均为零点一。用 $K$ 表示这一批中长分支的张数。

全部十张都是短分支的概率为：

于是至少一张遇到长分支的概率为：

单张只有百分之十的长分支概率，十张里至少遇到一次却超过百分之六十五。这里没有矛盾，因为事件已经从“这一张遇到”变成了“这十张中任意一张遇到”。

也不能把百分之十乘以十，就说至少一次的概率是百分之百。乘出来的一，实际对应的是这一批长分支张数的期望。它允许有些批次零张、有些一张、有些两张或更多，不能直接当成某个事件的概率。

2．遇到一次长分支，不等于整批一定赶不上

如果十张全是三分钟，总共三十分钟。每出现一张长分支，只是把该张的三分钟替换为三十三分钟，也就是额外增加三十分钟。因此：

有一张长分支，总耗时六十分钟；两张是九十分钟；三张是一百二十分钟。假设小叶留出九十分钟，恰好九十分钟也算按时，那么真正超时的条件是 $K\ge 3$。

固定十次、各次独立且长分支概率相同，符合二项分布的条件。OpenStax 的二项分布章节 介绍了这种计数模型。我们可以直接算零张、一张和两张的概率，再从一中减去：

其中十表示一张长分支可以出现在十个位置；四十五表示从十个位置里选两个的不同组合数。我们是在合并所有会导致相同计数的路径。

现在就能同时理解两个数字：至少遇到一次长分支的概率约百分之六十五，但超过九十分钟的概率约百分之七。它们指向不同事件。小叶若把“只要出现任何返工”当成“整批计划失败”，可能给自己增加不必要的紧张；若只看平均六十分钟，又会漏掉确实存在的超时情况。

3．独立情况下，平均比单次更集中

在这个独立模型下，总耗时的方差是十个单次方差之和，即八百一十平方分钟，标准差为 $9\sqrt{10}\approx 28.46$ 分钟。

整批总时间的标准差变大了，但每张平均耗时 $S/10$ 的标准差是 $9/\sqrt{10}\approx 2.846$ 分钟，比单次的九分钟小。这两个结论并不冲突：十张总时间的绝对波动可以更大，而平摊后的平均更集中。

这种集中能帮助我们估算大量工作的平均资源消耗，却不意味着单张卡片自己变得稳定。乙的单次过程没有改变，困难分支仍然存在；我们改变的是观察和汇总的尺度。

八、共同问题可以让十张一起变慢

1．单次概率表相同，整批分布仍然可能不同

换一个模型：小叶这一批十张卡片受到同一个处理状态影响。这个状态有百分之九十的概率让十张全走短分支，有百分之十的概率让十张全走长分支。

这是一个用于对比的极简模型。现实中可能出现程度不同的共同影响，例如整批资料采用同一种难处理的排版，或者同一套转换步骤对所有文件都产生同样的问题。我们现在把共同影响推到最清楚的两个状态，以便看出关系。

从其中任何一张单独看，它依然有百分之九十的概率耗时三分钟，有百分之十的概率耗时三十三分钟，与乙的单次表完全一致。可是整批只有两个结果：

平均依然为：

这再次验证了：期望可以相加，不要求独立。但总耗时的方差变成：

标准差为九十分钟，远大于独立模型中的约二十八点四六分钟。十张每张平均耗时的标准差仍是九分钟；在这个完全同步的模型里，平均没有消除共同变化。

2．不能只用“更容易出问题”概括共同影响

这个共同状态模型中，“至少一张长分支”的概率反而只有百分之十，比独立模型的百分之六十五点一三低。因为一旦出现，十张会同时进入长分支；没出现，就一张也没有。

所以，若有人把共同影响简单描述成“所有坏事的概率都会更高”，也不准确。共同影响改变了结果聚集的方式。对某个事件，它可能降低发生次数或发生概率；对另一个事件，它可能增加集中受影响的程度。

针对小叶九十分钟的期限，共同状态模型的超时概率是百分之十，高于独立模型约百分之七点零二，而且超时时整批要三百三十分钟。若换成其他期限，比较还要重新看对应事件。

两幅图中的期望都在六十分钟处。上图的概率分散在多种长分支张数上；下图集中为三十和三百三十分钟。上图右侧一些柱子很矮，只表示概率很小，不能因此读成不可能。

以后小叶同时让多个 AI 任务处理相似材料时，就有理由留意：它们是否共享同一份基础资料、同一个中间结果或同一种故障原因。增加任务数量，有时能让个别波动相互抵消，有时只是在把同一问题复制到更多任务。后面的联合概率和依赖结构章节会把这个关系讲得更细。

九、真正的改进，可以发生在少数分支上

1．把困难分支从三十三分钟变成十五分钟

小叶分析后发现，困难分支的大量时间花在反复让 AI 改写同一个错误答案上。他设想一种新安排：出现某种可识别的问题以后，转而查看原始笔记，按固定卡片结构直接修订，再完成同样的核验。

为了研究这项改动的价值，我们给出一个新的虚构模型：短分支仍然三分钟，概率仍为零点九；困难分支改成总共十五分钟，概率仍为零点一。十五分钟包括前面已经花掉的时间、切换方法和后续修订核验，不能把初次失败的耗时漏掉。

这里已经改变了流程，所以它是一个待验证的新模型。我们假定触发识别有效，切换后仍能满足原来的质量标准，也暂不引入额外误触发。真实采用时，小叶需要检查这些条件，而不能仅靠把数字填得更小就宣称改进成功。

新方式的期望为：

方差为：

标准差是三点六分钟。我们没有让九成顺利任务更快，仅仅缩短困难分支，就把平均耗时从六分钟降到了四点二分钟，也缩小了波动。

2．问题出现的概率没变，后果可以明显变轻

如果仍然以十分钟为期限，新方式超过期限的概率还是百分之十。三十三分钟变成十五分钟，两者都超过十分钟，单独看按时率就看不出改善。

但期望延误变成：

它比原来的二点三分钟少了很多。若期限为二十分钟，原乙方式的按时概率是百分之九十，而新模型是百分之百。

这张表让我们把发生概率和发生后的程度分开看。有些改进减少问题发生，有些改进让问题发生后更容易收拾。二者都可能有价值，只盯一个指标容易漏掉其中一种。

3．设置超时，与完成交付，是两件不同的事

假如小叶只是在十五分钟时停止运行，手里还没有可用卡片，那么十五分钟是“停止等待”的时间，不能写成“完成交付”的时间。否则我们前面始终保持的成果标准就被悄悄换掉了。

有效备用方案需要说明停止之后怎么办。例如保留已核验部分、定位原始材料、人工补齐关键答案、完成最终检查。它不一定复杂，重点是确实能把任务带到可交付状态，并且把全部步骤的时间计入。

这种思考能帮助小叶更具体地改进 AI 工作。与其笼统要求“整体更稳定”，不如找到耗时大的真实分支，看看是反复重试、上下文缺失、文件转换，还是验收不清造成的。分支找到以后，再决定应该提前补信息、改变处理方法，还是准备另一条可完成的路径。

十、怎样把这些知识带回自己的使用习惯

小叶不必每次做一张卡片，都重新计算一遍方差。真正值得带走的，是观察一项工作的几个角度。

他可以先记下一批完整任务的耗时，保留必要的材料类型和返工原因。第一次看记录时，除了平均数，再看中位数、较长的几个结果和与自己期限有关的比例。若平均明显高于中位数，就去看看哪些较长任务把它拉高；若按时率不理想，就查看超时后是多几分钟，还是整个下午都被占用。

下一步才是解释。小叶可以请 AI 整理记录、计算分布、列出可能原因，但计算出的差异和已经证实的原因要分开。如果较长任务集中在某种排版上，可以据此设计一次针对性的检查；不能只因表格里同时出现，就断言排版一定导致了所有延误。

然后选择一个有具体作用对象的改动。若主要时间消耗在少数反复返工的卡片上，就优先尝试缩短这部分过程；若多个任务会一起受影响，就检查共同输入和共享步骤；若平均已经足够快但课堂期限仍常赶不上，就考虑提前完成、调整批次或采用更适合该期限的方式。

最后，用同样的交付口径重新观察。平均下降、按时率上升、极端延误减轻，是不同方面的变化，可以分别记录。也可能出现平均稍慢但关键场景更可靠的方案；只要它符合实际用途，这就可以是一项有意义的改进。

这些做法把概率知识接到了行动上，却不要求我们把日常生活变成统计考试。它们让“感觉这个 AI 有时很好用，有时很拖沓”逐渐变成更具体的认识：大部分时间发生什么，少数时候发生什么，哪些结果会影响自己的安排，以及哪一段过程值得修改。

十一、练习与参考分析

练习一：平均六分钟，究竟能推出什么

小叶读到甲、乙两种方式的期望都为六分钟，作出三个判断：“下一张大概都在六分钟结束”“十张一定都在六十分钟结束”“只比较长期平均耗时，两者在模型中相同”。逐项分析，并说明乙的困难分支为什么只占百分之十的概率，却占百分之五十五的期望耗时贡献。

参考分析

第三个判断符合本章的模型计算。前两个把平均汇总量变成了单次或固定批次的保证。

单次甲取五或七，乙取三或三十三，六分钟甚至不是可能结果。十张总耗时则取决于具体长短组合；期望六十分钟不要求每批六十分钟。

困难分支的期望贡献是 $33\times 0.1=3.3$ 分钟，总期望六分钟，所以份额为百分之五十五。顺利分支虽然常见，每次只花三分钟，贡献为二点七分钟。出现少不能推出时间占比小。

这里也不能把百分之五十五理解为“有百分之五十五的任务进入困难分支”。若小叶用这两种比例向同学解释流程，应当分别写清“任务发生比例”和“期望耗时贡献比例”。两者使用了不同的分母。

练习二：标准差九分钟，是否意味着最多多花九分钟

计算乙的方差和标准差，解释为什么“耗时不会超过十五分钟”不成立。再考虑每张固定增加两分钟排版，以及把单位改成秒，相关数值如何变化？

参考分析

乙的均值为六，方差为 $0.9\times 9+0.1\times 729=81$ 平方分钟，标准差为九分钟。均值加一个标准差得到十五，但三十三分钟仍有百分之十的概率。标准差描述偏差尺度，不是最大偏差。

增加固定两分钟以后，两种结果变成五和三十五，均值八，偏差仍为负三和正二十七。所以方差仍是八十一，标准差仍是九。

若只对原乙方式换算单位，均值为三百六十秒，标准差为五百四十秒，方差为二十九万一千六百平方秒。方差随单位倍数的平方变化，标准差随单位倍数变化。观察报告中数字突然放大时，先查单位比直接评价波动更可靠。

练习三：两个期限，为什么对应不同选择

小叶分别面对五分钟和十分钟的单张交付期限。若唯一目标是提高按时概率，应怎样比较甲乙？再计算乙相对十分钟期限的期望延误，说明为什么不能先把耗时替换为六分钟。

参考分析

五分钟内包括恰好五分钟，所以甲按时概率为二分之一，乙为十分之九。十分钟内，甲的两种结果都满足，概率为一；乙仍然只有三分钟结果满足，概率为十分之九。只按题目给定目标，两个期限下的选择不同。

乙延误只有零和二十三分钟，期望为二点三。先用六分钟代替耗时，会算出零，遗漏长分支。这里提前完成的时间不计为负延误，因此不能在平均时抵消晚到的时间。

如果小叶还关心计算费用、人工占用或失败后的其他影响，需要把这些因素补入选择。题目之所以先限定唯一目标，是为了让我们看清：即使不增加其他因素，仅仅改变期限，也足以改变比较结果。

练习四：删除两条长记录，平均真的改善了吗

一批二十次记录中，十八次三分钟，两次三十三分钟。求样本平均、按二十分之一权重描述本批的方差，以及分母为 $n-1$ 的样本方差。小叶想删除两条长记录后向同学报告“平均三分钟且没有波动”，应怎样分析？

参考分析

总时间一百二十分钟，平均六分钟。平方偏差总和一千六百二十，除以二十得到八十一；除以十九得到约八十五点二六三。二者分别对应本批数据的等权描述和常用的总体方差估计公式，不能忽略定义只比较数字。

删掉长记录后，剩余十八条确实全部为三分钟。但这只能如实描述“保留下来的顺利记录”。如果两条长记录来自真实返工，用这个结果代表所有完整任务，就把困难情形从研究对象中移除了，流程本身并没有因此改善。

若核实其中某条计时包含离开教室处理私事，就可以按事先明确的口径区分中断时间与任务时间。理由来自具体记录和测量目标，不是来自“删掉后数字更好看”。保留原记录及修订说明，还能让其他人理解报告发生了什么变化。

练习五：十张任务，至少一次返工与整批超时

采用乙方式，十张串行处理，给定各次独立。求至少一张长分支的概率，以及整批严格超过九十分钟的概率。然后改成百分之九十全短、百分之十全长的共同状态模型，比较两种概率和整批期望。

参考分析

独立模型中，至少一张长分支的概率为 $1-0.9^{10}\approx 65.13\%$。总耗时 $S=30+30K$，严格超过九十分钟要求 $K\ge 3$，所以不能把两张长分支也算进超时。

零张、一张、两张的概率分别约为百分之三十四点八七、百分之三十八点七四、百分之十九点三七；余下约百分之七点零二，就是超时概率。三个近似百分比相加后的尾差来自四舍五入，实际计算应使用未舍入值。

共同状态模型中，至少一张长分支的概率是百分之十，超过九十分钟的概率也为百分之十，因为长分支会十张一起出现。两种模型的整批期望都是六十分钟。

比较结果并非“共同影响让每种坏事件都更常发生”。至少一次的概率降低了，但出现时会集中影响整批，且在这里提高了超过九十分钟的概率。只掌握每张的单次概率表，无法分辨这两种情况，必须再了解任务之间的关系。

练习六：备用方案到底改变了什么

小叶提出把乙的困难分支总耗时从三十三分钟缩短到十五分钟，其他概率不变。求新期望、标准差和相对十分钟期限的期望延误。另一个提议是“到十五分钟直接停止生成”，它是否足以支持同样的计算？

参考分析

新期望为四点二分钟。以四点二为中心，两个偏差为负一点二和正十点八，平方后加权得到十二点九六，标准差为三点六分钟。期望延误为 $0.1\times 5=0.5$ 分钟。

相比原乙，平均和波动都下降，延误程度减轻。但超过十分钟的概率仍为百分之十，所以只看这个按时指标会漏掉改善。

“十五分钟停止生成”只规定停止某一步，没有说明卡片是否已可交付。若停止时材料仍缺失，便不能把十五分钟记作完整交付时间。需要补充有效的后续处理，并计入开始以来的全部相关耗时。

小叶可以先用少量真实困难材料检验：能否识别需要切换的情况，切换后能否完成同一质量要求，十五分钟是否包含先前尝试，以及顺利任务会不会被误触发。只有这些具体条件获得支持，新的时间模型才有现实依据。计算帮助我们看见方案可能改善什么，观察则帮助我们判断这些改善是否确实发生。